Équilibre d'un solide mobile autour d'axe fixe

Exercice 1

Compléter les phrases suivantes : L’$\ldots\ldots\ldots$  est une droite, théorique ou réelle, autour de laquelle tourne un solide
Le bras de levier est la $\ldots\ldots\ldots.$ distance entre la droite d'action (direction) de la force et l'axe de rotation.

Le moment d'un force par rapport à un axe traduit la capacité de cette force à faire $\ldots\ldots\ldots$ un solide autour de cet axe
Le moment d'une force est grandeur $\ldots\ldots\ldots$

Un couple de forces est un ensemble de $\ldots\ldots\ldots$ forces ayant :

$-\ $des droites d'action $\ldots\ldots\ldots$ et $\ldots\ldots\ldots\ldots$; $-\ $des $\ldots\ldots\ldots$ opposés ;

$-\ $des valeurs $\ldots\ldots\ldots$ L'expression du moment d'un couple de forces est $\ldots\ldots\ldots\ldots$

L'unité légale du moment d'un couple est le $\ldots\ldots\ldots\ldots.$

Dans le langage courant, on remplace souvent l'expression « moment d'un couple » par : $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 2

1. Définir les termes suivants : axe de rotation ; bras de levier ; moment d'une force et couple de forces

2. Calculer le moment des forces dans les cas suivants :
 
2.1. Le moment des forces suivantes par rapport au point $O$

2.2 Le moment des couples de forces

2.3 On considère la barre ci-dessous

Exercice 3

1. Calculer le moment des forces par rapport à $X$ dans les cas suivants :

Le point représente l'axe $X$ de rotation

Laquelle de toutes ces rotations est la plus efficace ?

2. Une barre horizontale AC de poids négligeable mesure $10\,m.$

Elle est soumise à l'action de $3$ forces.

Calculer la somme des moments des forces par rapport :

$-\ $ à un axe $\perp$ placé en $A$

$-\ $à un axe $$\perp$ placé en $B$

$F_{1=3N}$ ; $F_{2}=4 N$ ; $F_{1}=2N$

Exercice 4

1.1 Quel schéma représente un couple de forces ?

1. 2. Pour quelles raisons les autres schémas ne représentent-ils pas un couple de forces ?

2. Sur la figure ci-dessous, $F_{1}=3N$ et $F_{1}$ et $F_{2}$ forment un couple.

Déterminer la valeur algébrique du moment de ce couple.

Exercice 5

Une barre homogène $AB$ de masse $m=4\,kg$ est suspendue à l'aide des $2$ fils $AA'$ et $CC'$ de même longueur, la barre est horizontale, en équilibre, $AB=50\,cm$ ; $AC=40\,cm$ ; $g=10 N\cdot kg^{-1}$

1. Faire le bilan des forces appliquées à la barre

2. En appliquant le théorème des moments de la barre, par rapport à un axe imaginaire $\Delta$ passant par $A$, déterminer la tension du fil $CC'$

3. Calculer de la même façon la tension du fil $AA'$, en appliquant le théorème des moments par rapport à un axe imaginaire passant par $C$

4. vérifier que la somme des forces appliquées à la barre est nulle

Exercice 6

Une tige rigide et homogène $(AB)$ de longueur $L$, de masse $M$ peut tourner sans frottement autour d'un axe fixe $(A)$ horizontal qui lui est orthogonal passant par le point $O$ (voir figure)

Pour maintenir la tige $AB$ en équilibre suivant une direction faisant un angle $\alpha=30^{\circ}$: avec la verticale, on fixe à son extrémité $B$ un ressort à aspires non jointives, de masse négligeable et de raideur $k=10\,N/m$ ; $OA=\dfrac{L}{\perp}$

L'axe de ressort maintenu horizontal.

On donne :

On se propose d'étudier l'équilibre de la tige $AB$$

1. Représenter toutes les forces extérieures appliquées à la tige $AB.$

2. Donner l'expression de moment de chaque force par rapport à l'axe de rotation $(A)$ passant par le point $0.$
    
3. Par application du théorème des moments à la tige AB en équilibre, établir l'équilibre de la tige $AB$

1. Représenter toutes les forces extérieures appliquées à la tige $AB.$

2. Donner l'expression de moment de chaque force par rapport à l'axe de rotation $(A)$ passant par le point $0.$

3. Par application du théorème des moments à la tige AB en équilibre, établir l'expression de la tension

 du ressort exercée à l'extrémité $B$ en fonction de : $M$, $g$ et $\alpha.$
 
4. A l'équilibre, le ressort s'allonge de  $x=5.cm$ Calculer la tension du ressort.

5. En déduire la masse $M$ de la tige $AB.$

On prendra $g=10 N\cdot kg$

6. Calculer la réaction de l'axe en $0.$

7. Déterminer l'angle $\beta$ que fait la direction de la réaction avec la verticale.

Exercice 7

Un solide $(S)$ de masse $m=200\,g$ est relié à un fil de masse négligeable passant par la gorge d'une poulie à axe fixe $(\Delta)$, de masse négligeable et de rayon $r.$

L'autre extrémité du fil est attachée à un ressort de raideur k et de masse négligeable.

A l'équilibre, l'axe du ressort fait un angle a $\alpha=30^{\circ}$ avec l'horizontale et le ressort est allongé de $\Delta L=4.$

On néglige tout type de frottement

1. Représenter les forces exercées sur le solide $(S).$

2. Écrire la condition d'équilibre de $(S)$ et déterminer l'expression de la tension du fil $f_{1}$, puis calculer sa valeur.

3. Représenter les forces exercées sur la poulie.

4. En appliquant le théorème des moments, déterminer la tension du fil $f_{2}.$

5. Déduire la tension du fil $f_{2}$ au point $A.$

6. Déterminer la valeur de la raideur du ressort $k$

7. Par projection de la relation vectorielle, traduisant l'équilibre de la poulie, dans un repère orthonormé, montrer que la valeur de la réaction $R$ de l'axe $(\Delta)$ est :

$R-mg\sqrt{1+\sin\alpha}$

8. Calculer sa valeur.

On prendra : $\varrho=10 N\cdot kg^{-1}$

Exercice 8

Une barre homogène de longueur $L=AB=60\,cm$ et de masse $m=2\,kg$ peut tourner autour de son extrémité $A.$

un fil horizontal fixé en $B$ maintient la barre en équilibre.

La barre fait le plan horizontal un angle de $\alpha=15^{\circ}$

1. Représenter les forces qui s'exercent sur la barre

2. Calculer l'intensité de la force exercée par le fil $BC$ sur la barre.
 
3. Déterminer les caractéristiques de.

la réaction du sol sur la barre

Exercice 9

On fixe au centre de gravité $G$ d'une barre homogène $(AB)$ de longueur, un fil de torsion de constante de torsion $C.$

On fixe l'extrémité $A$ à un ressort de raideur et l'extrémité $B$ à un fil vertical qui porte à l'autre extrémité un solide $(S)$ de masse $m=200\,kg.$

A l'équilibre le fil de torsion est tordu d'un angle $\alpha=30^{\circ}$ et le ressort est vertical et allongé de $\Delta L=4\,cm.$

1. Montrer que les tensions du ressort et du fil forment un couple de deux forces.

2. Calculer la valeur de la constante de torsion $C$

Exercice 10

Dans un système à contre poids, on utilise une poulie à $2$ gorges de rayons  respectifs $r 1=25\,cm$ et $r 2=75\,cm.$

Cette poulie est mobile sans frottement autour d'un axe horizontal passant par $0.$
 
Sur la plus petite gorge est enroulé un câble de masse négligeable portant un fardeau $S$ de masse $M=900\,kg$ pouvant glisser sans frottement le long d'un plan incliné de $\alpha=30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale.

Un câble accroché à la gorge de plus grand rayon supporte un contre poids $S_{1}$

1. Énoncer les conditions d'équilibre d'un solide mobile autour d'un axe

2. En appliquant ces conditions d'équilibre, montrer que :

3. Calculer la masse $M_{1}$ de $S_{1}$ réalisant l'équilibre

Exercice 11

Un disque homogène de masse $m=50\,g$, de rayon $r=12\cdot 5\,cm$, porte en $A$ une surcharge ponctuelle de masse $M=100\,g.$

1. l'appareil peut tourner librement autour d'un axe horizontal perpendiculaire au disque en son centre $0.$

Quelle position prend-il à l'équilibre ?

2. A l'extrémité du fil de masse négligeable, enroulé sur la périphérie du disque, on accroche un objet un objet $S$ de masse $M_{1}$
 
Déterminer $M_{1}$ pour que, à l'équilibre, la valeur de l'angle

Exercice 12

On maintient une poutre en équilibre statique à l'aide d'une charge $P$ suspendue à un câble inextensible de masse négligeable, passant par une poulie comme indiqué sur la figure.

La poutre a une longueur de $8\,m$ et une masse de 50 Kg et fait un angle de $465^{\circ}$ avec l'horizontale et $30^{\circ}$ avec le câble.

Déterminer la tension dans le câble ainsi que la grandeur de la réaction en A ainsi que sa direction par rapport à l'horizontale

Exercice 13

ne barre homogène $AB$ de poids $P$ et de longueur $L$, appuyée en $A$ sur une plateforme rugueuse et l'extrémité $B$ est fixée par le câble $BC$, inclinée d'un angle de $45^{\circ}$ avec l'horizontale (Figure).

Sachant que le coefficient de frottement de la barre avec l'horizontale est $f_{s}.$
 
Déterminer l'angle  que fait le câble $BC$ avec l'horizontale permettant la barre à glisser vers le point $D.$

Une barre $(OA)$ homogène de masse $=1\,kg$ et de longueur L, pouvant tourner sans frottement autour d'un axe horizontal passant par son extrémité $0$, est en équilibre comme l'indique la figure.
 
Le fil est fixé au centre G de la barre, passe sur la gorge d'une poulie et est fixé par l'autre extrémité à un ressort verticale de raideur $k.$ à l'équilibre, le fil est normal à la barre, avec $\alpha=30^{\circ}$

1. Faire l'inventaire des forces appliquées sur la barre $(OA)$ et les représentées sans souci l'échelle.

2. Écrire l'énoncer du théorème des moments.

3. Par application de ce théorème, trouver l'intensité de la tension du fil.

4. déduire la valeur de la raideur du ressort sachant que son allongement à l'équilibre est $\Delta=5\,cm$

Exercice 15

Une enseigne de magasin est composée d'une barre $(OA)$ de masse $m=2\,kg$ et de longueur $L=1.20\,m$, capable de se mettre en rotation autour d'un axe $(\Delta)$ horizontal et passant par le point $O.$

On suspend à l'aide d'un fil de masse négligeable au point $A$ un objet décoratif de masse $M=3\,kg.$

Et on fixe au point B qui se trouve à la distance $OB=L/4$ du point $0$ de l'enseigne un fil métallique $BC$ dont l'autre extrémité est fixée à un mur vertical de telle façon qu'il reste perpendiculaire à l'enseigne.

L'ensemble se trouve en équilibre lorsque  $\alpha 30^{\circ}$ Avec $g=10\,N/kg$

1. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur l'objet décoratif.

2. Énoncer les conditions d'équilibre d'un solide soumis à deux forces.

3. Étudier l'équilibre de l'objet décoratif puis déduire l'intensité de la tension du fil au point $A.$

4. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur l'enseigne de magasin.

5. Calculer l'intensité de la force exercée par le fil $BC$ sur l'enseigne