Étude du dipôle $RC$

Exercice 1

On charge un condensateur de capacité $C=20\mu F$, initialement non chargé, avec un générateur de courant d'intensité
 
$I=1.8\mu\cdot A$

1. Déterminer la charge $q$ acquise par le condensateur lorsque le circuit reste fermé pendant $10$ secondes.

2. Déterminer :

2.1. La tension $u_{AB}$ aux bornes du condensateur à l'instant $t=10s$

2.2. L'énergie emmagasinée par le condensateur au bout de $t=10s$

Exercice 2

L'acquisition de la tension aux bornes d'un condensateur au cours de sa charge, dans un circuit comprenant en série le condensateur, un résistor de résistance $R=100\Omega$, un interrupteur $K$ et un générateur de tension continue de $f.e.m$

$E=5\,V$, a donné les valeurs suivantes :
 
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t\left(us\right)&0&0.5&1&1.5&2&3&4&5\\ \hline
uc(V)&0&2.2&3.3&4&4.3&4.7&4.8&4.9\\ \hline \end{array}$

1. Proposer un schéma pour le montage qui a servi à dresser ce tableau de mesures.

2. Tracer le graphe traduisant les variations de u$u_{c}$ au cours du temps.

3. Déterminer graphiquement la constante de temps $t$ du dipôle $RC$

4. En déduire la capacité $C$ du condensateur

Exercice 3

On réalise la charge et la décharge d'un condensateur de capacité $C=10\mu F$ selon le montage ci-contre.

Le générateur délivre une tension constante $E=12\,V$ ; le conducteur ohmique a une résistance $R=10\,k\Omega$

1. En mettant l'interrupteur (commutateur) sur la position $1$, le condensateur se charge.

A la fin de la charge, déterminer :

1.1. La tension $U_{AB}$ aux bornes du condensateur.

1.2. La charge $Q$ du condensateur.

1.3. L'énergie emmagasinée dans le condensateur

2. A $t=O s$, on bascule l'interrupteur sur la position $2.$

2.1. Justifier le sens du courant électrique $i(t)$ dans le circuit.

En déduire l'expression de $i(t)$ en fonction de la charge $q(t)$ du condensateur à un instant $t$ quelconque.

2.2. Exprimer la tension $u_{C}=u$ aux bornes du condensateur en fonction de la charge $q$ du condensateur et $u_{R}$ aux bornes du conducteur ohmique en fonction de l'intensité du courant $i.$

2.3. En appliquant les relations algébriques liant les grandeurs électriques, établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_{C}=u$

3. La solution de l'équation différentielle est de la forme : $u(t)=Ke^{-at}$

3.1. Déterminer $K$ et α en fonction de $E$, $R$ et $C$

3.2. Définir la constante de temps (ou temps caractéristique)$t$

Exprimer $t$ en fonction de $R$ et $C$

3.3.. On définit la durée $t_{1/2}$ telle que : $\left(t_{1/2}\right)=E/2$

Exprimer $t_{1/2}$ en fonction de $t$

3.4. Donner les expressions numériques de $u(t)$, $q(t)$ et $i(t)$

Exercice 4

Le montage ci-contre permet d'étudier l'évolution de la tension $u_{C}$ aux bornes d'un condensateur de capacité $C$ en série avec un résistor de résistance : $R=1.00\,k\Omega$
 
Le commutateur (interrupteur à plusieurs positions) a deux positions possibles repérées par $1$ et $2$

Une interface, reliée à un ordinateur, permet de saisir les valeurs instantanées de cette tension $u_{C}$

Initialement, le commutateur est depuis longtemps en position $2$ et le condensateur est déchargé.

On donne : $E=5.00\,V$
 
1. Dès lors, comment faut-il manipuler le commutateur pour obtenir la courbe du Document 1 ci-dessous donnant l'évolution de la tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur en fonction du temps ?
 
2. En respectant les conventions d'orientation du schéma du circuit
 
2.1. Préciser le signe de l'intensité id du courant lors de la décharge

2.2. Écrire la relation entre l'intensité $i$ du courant et la tension $u_{R}$

2.3. Écrire la relation entre la charge $q$ de l'armature $A$ du condensateur et la tension $u_{B}$ ;
 
2.4. Écrire la relation entre l'intensité $i$ et la charge $q$ ;

2.5. Écrire la relation entre les tensions $u_{R}$ et $u_{C}$ lors de la décharge.
 
3. En déduire que, lors de la décharge du condensateur, l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_{C}$
est de  la forme :
$$u_{\mathrm{e}}+\dfrac{1}{\alpha}\dfrac{du_{c}}{dt}-O$$

4. Le rapport est appelé constante de temps $t$ du dipôle
 
$RC$ En recherchant son unité par analyse dimensionnelle, justifier cette appellation.
 
5. La solution de l'équation différentielle précédemment établie est de la forme : $u_{c}=Ee^{a\cdot t}$

5.1. La tension $u_{C}$ est exprimée en volt.

Établir l'expression du logarithme népérien de sa valeur, noté In $u_{C}$

On rappelle que : $\ln(ab)=\ln+\ln b$ ;

$\ln a^{3}=x\ln a$ ;

$\ln e=1$

5.2. On a tracé, à l'aide d'un logiciel, la courbe représentant $Ln$ u en fonction du temps (Document $2$ ci-dessous).

5.2.1. Montrer que l'allure de cette courbe est en accord avec l'expression obtenue en $5.1$

5.2.2. En déduire une valeur numérique de $t$
 
5.23. Quelle est la valeur numérique de la capacité C du condensateur ?

6. Le logiciel permet de créer deux nouvelles grandeurs :

$P-100\dfrac{u_{c}}{E}$ représentant le pourcentage de charge restant à la date $t$ ;

$=-at-\dfrac{t}{t}$  $t$ représentant la durée de la décharge en unités de constante $t$ de temps $\text{(c'est-à-dire : quand }t=t\;,n=1\ ;\ t=2 t\;, n=2\;,\cdot\cdot\text{ etc})$

La courbe du Document $3$ ci-contre représente $p$ en fonction de $n$

6.1. Pour $n=1$, déterminer graphiquement le pourcentage de charge restante.

6.2. Pour quelle valeur de $n$, la décharge peut-elle être considérée comme terminée ?

6.3.1. Quelle est la durée minimale pendant laquelle le commutateur doit rester dans la position convenable pour que la charge du condensateur puisse être considérée comme totale ?

6.3.2. Quelle est alors la quantité d'énergie emmagasinée dans le condensateur ?
 
Exercice 5

Pour étudier la charge d'un condensateur ou sa décharge dans un résistor, on réalise le montage de la figure

À l'aide d'un ordinateur, d'un capteur et d'une interface de saisie de données, on suit l'évolution temporelle de la tension $uc$ aux bornes du condensateur.

1. En plaçant le commutateur dans la position 1, on obtient la courbe $uc(t)$ de la figure

1.1. Interpréter l'allure de la courbe $uc(t)$ de la figure

1.2. Déterminer graphiquement le temps mis par le condensateur pour se charger.

Pour cela on suppose que le condensateur est complètement chargé quand $uc=E$ à $1\%$ près.

2. On bascule le commutateur dans la position $2$, le condensateur se décharge complètement dans le résistor de résistance $R_{2}=1\,k\Omega$ au bout d'une durée $t=250\,ms$

La courbe de décharge $uc(t)$ est représentée sur la figure

2.1. Interpréter l'allure de la courbe $yc(t)$ obtenue lors de la décharge du condensateur à travers le résistor de résistance $R_{2}$

2.2. Déterminer graphiquement la constante de temps $t_{2}$ et en déduire la valeur de la capacité C du condensateur.

3. Déterminer la valeur de la résistance $R_{1}$

 
On associe en série un générateur de tension de $f.é.m E$ avec un résistor de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C=10\,uF$

1. Faire un schéma du montage et préciser les connexions à faire pour visualiser à l'aide d'un oscilloscope numérique, les tensions $uc(t)$ et $u_{R}(t)$ respectivement aux bornes du condensateur et du résistor.

2. Identifier les oscillogrammes de la figure ci-après.
 

3. Déterminer à partir des oscillogrammes les valeurs de $E$ et de la constante de temps $t$ du dipôle $RC$

4. En déduire la valeur de $R$

Exercice 7

Le montage de la figure ci-après permet d'étudier l'évolution de la tension $u_{AB}$ aux bornes d'un condensateur de capacité $C$, en série avec un résistor de résistance $R$

Une interface, reliée à un ordinateur, permet l'acquisition de la tension $u_{AB}$ au cours du temps. Initialement, l'interrupteur $K$ est en position $1$ depuis longtemps

1. À l'instant $t=0$, on place l'interrupteur $k$ en position $2.$

Quel est l'état du condensateur à cet instant ?

2. À quoi correspond la courbe ci- dessus ?

3. Quelle est la manipulation à effectuer sur le circuit pour obtenir cette courbe ?

4. En respectant l'orientation choisie, préciser le signe de l'intensité i du courant lors de la décharge du condensateur.

5. Écrire la relation entre :

$-\ $l'intensité i du courant et la tension $u_{BG}$,

$-\ $la charge $q_{A}$ du condensateur et la tension $u_{AB}$

$-\ $l'intensité $i$ du courant et la charge $qA$

$-\ $les tensions $u_{BG}$ et $u_{AB}$ lors de la décharge.

En appliquant la loi des mailles, montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_{AB}$ est :
$$\dfrac{1}{\alpha}\dfrac{d u}{dt}+u_{AB}=0$

Avec $\alpha$ une constante que l'on exprimera en fonction des caractéristiques des
différents dipôles du circuit de décharge

Exercice 8

On charge un condensateur de capacité $C=22\mu F$ selon le montage schématisé ci- dessous.

Le générateur est une alimentation stabilisée délivrant une tension $E=6\,V$ ; le conducteur ohmique a une résistance $R=1\,k\Omega$

À l'instant initial $T=0$, le condensateur est déchargé et l'on ferme l'interrupteur $k$

1. En désignant par $q$ la charge portée par l'armature $B$ du condensateur.

Indiquer le sens arbitraire positif choisi pour avoir $i=\dfrac{dq}{dt}$

2. En appliquant la loi des mailles, déterminer l'équation différentielle vérifiée par $q(t)$

3. Cette équation différentielle admet pour solution: $q(t)=\alpha\cdot\left(1-\mathrm{e}^{-t/B}\right)$ où $\al$ et $\beta$ sont deux constantes.

3.1. Déterminer les expressions littérales de $\alpha$ et de $\beta$, puis calculer leurs valeurs numériques.

3.2. Exprimer l'intensité du courant de charge $i(t)$

4.1. Déterminer l'instant $t_{t/1}$ pour laquelle $q(t)$ est égale à $1/2\,CE$

 Comparer cet instant à la constante de temps $t$
 
4.2. A quel instant t a-t-on $q=\dfrac{CE}{4}$ ?