Cinématique du point

Exercice 1

Un point mobile $M$ à un mouvement rectiligne.

On repère sa position sur un axe orienté, par la loi horaire de son abscisse

$x(t)=-5t^{2}+30t+10$ pour $t\geq 0$  pour , les distances sont exprimées en $m$

1. Donner les expressions des mesures algébriques, en fonction du temps

1.1. De la vitesse $V_{x}(t)$

1.2. De l'accélération $a_{x}(t)$

1.3. Quelles sont les valeurs $x_{0}=x(O)$, $v_{xo}=y_{0}(O)$ et $a_{x}O=a_{x}(O)$ que prennent l'abscisse, la vitesse et l'accélération à l'instant initial ?

2.1. Expliquer (par une phrase) comment varie la vitesse au cours du temps, quelle est la nature du mouvement du mobile ?

2.2. A quelle date le mouvement du mobile change-t-il de sens ?

2.3. Quelle est l'abscisse du point de rebroussement (point où le mouvement change de sens) ?

3.1. Exprimer l'abscisse x en fonction de la vitesse $v_{x}.$

3.2. Retrouver, grâce à cette relation, l'abscisse du point de rebroussement.

4.1. Quelle est l'abscisse $x(5)$ du point mobile $M$ à l'instant de date $t=5s$ ?

4.2. Quelle est la distance $d$ parcourue par le mobile depuis l'instant initial jusqu'à l'instant de date $t= 5s$ ?

5.1. Sur papier millimétré représenter le diagramme des vitesses $\left[t\longrightarrow\,v(t)\right]$ en prenant pour échelle : en abscisse : $0.5 s\longrightarrow\,cm$ et en ordonnée : $5\,ms^{-1}\longrightarrow 1\,cm$

5.2. Déterminer graphiquement la date de l'instant où le mobile change de sens

Exercice 2

Un mobile ponctuel est en mouvement sur une trajectoire curviligne dans le repère d'espace $(O\;,\ i\;,\ j)$, il passe par le point $A(O\ ;\ O)$ à l'origine des temps avec la vitesse $v_{0}=2_{\vec{i}}+5_{\vec{j}}$ son vecteur accélération est $a=-8^{\vec{j}}$

1. Établir l'expression de son vecteur vitesse en fonction du temps.

2. Établir l'équation de sa trajectoire ;

quelle est la nature de cette trajectoire ? Donner son allure.

3. Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération  du mobile à la date $t=0.625\,s.$

Représenter à cette date le vecteur a sur la trajectoire en utilisant l'échelle suivante : $1\,cm$représente $2\,m\cdot s^{-2}$

4. A quelles dates le mobile est-il passé par le point d'ordonnée $y=0$ ?

Exercice 3

Un mobile $M$ est en mouvement dans un repère orthonormé $R\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Le vecteur position de $M$ est donné par $OM=\left(b\cdot t+c\right)^{i}+\left(d\cdot t+e\cdot t+f\right)^{j}$ ; avec $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ sont des constantes.

1.1. Sachant qu'à la date $t0 s \boxed{OM_{0}-0}$ et $v_{0}=i+j$ et que l'équation de la trajectoire du mouvement est  $y(x)=-x^{2}+4x$, déterminer les valeurs de ces constantes.

1.2. Déduire l'expression des vecteurs position et vitesse de $M.$

2- 2. A quelle date $t_{1}$ le mobile $M$ passe par le point $A(4\;,0)$ ?

3. Tracer la trajectoire de $M$ pour $t\in\left[0\ ;\ t_{1}\right]$

Échelle : $2\,cm$ pour $1\,m.$

4.  Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à $t=2\,s$

1. Dans quel sens se déplace le mobile à partir de l'instant $t=0$ ?

2. Trouver la pulsation $w$ et en déduire l'amplitude $X_{m}$ du mouvement.                                                                     

3. Écrire l'équation horaire du mouvement du mobile.
                                                                                        
4. A quelle date le mobile passe-t-il pour la première fois par l'abscisse $2\,m$ en allant dans le sens positif ?                                                                                                                                                                                                                                    

5. Trouver la vitesse et l'accélération du mobile à cet instant ; en déduire la nature accélérée ou décélérée du mouvement à cette date.    
    
Exercice 4

Un mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal.

La figure ci-contre correspond à la courbe $V=f(t)$

1. Donner la définition d'un mouvement rectiligne sinusoïdal.

2. Déduire de la courbe :

2.1. L'amplitude $V_{m}$ de la vitesse.

2.2. La pulsation $\Omega$ du mouvement.

2.3. La phase initiale $\Omega_{v}$ de la vitesse.

3. Écrire l'expression de la vitesse instantanée en fonction du temps.

4.1. Déterminer l'amplitude $Xmax$ et la phase $\Omega_{x}$ de l'élongation $x$ du mouvement.

4.2. Écrire la loi horaire du mouvement.

4.3. Représenter sur la figure, la courbe $x=g(t)$ sans préciser l'échelle.

 

4.4. Déterminer la date $t'$ du premier passage par la position d'abscisse $x=\dfrac{X_{max}}{2}$

5.1.  Montrer qu'à chaque instant :

$a+\Omega^{2}x=0$ ; a étant l'accélération instantanée.

5.2. Déduire l'élongation $x_{1}$ du mobile lorsque son accélération $a_{1}$ vaut $5\;m\cdot s^{-2}$

La courbe de la figure ci-dessous représente les variations de l'élongation $x$ du centre d'inertie $G$ d'un solide $(S)$ en mouvement rectiligne.

 

1. Quelle est la nature du mouvement du centre d'inertie $G$ de $(S)$ ? Justifier la réponse.

2. Déterminer graphiquement :

2.1. L'amplitude $X_{max}$ des oscillations.

2.2. La période $T$ des oscillations.

2.3. La phase initiale $\Omega_{x}$ du mouvement.

3.1. Écrire l'équation horaire du mouvement.

3.2. Calculer la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{0}= Os$ et $t_{1}=0.45\pi s$

4. Déterminer théoriquement l'instant du $3^{ème}$ passage de $G$ par l'élongation $x=-3\,cm$ avec une vitesse négative.

5. Exprimer alors la vitesse instantanée $v(t)$ du centre d'inertie $G$ en fonction du temps.

6. La courbe $2$ représente les variations de $v^{2}=f\left(x^{2}\right)$

6.1. Justifier théoriquement l'allure de cette courbe.

6.2. Retrouver la valeur de la pulsation $\omega_{\Theta}$ du mouvement.

Exercice  5

Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal relativement au référentiel terrestre.

Il a l'élongation x dans le repère $(O,\s\up 7)$ $0\;,\s\u p 7$ de ce référentiel, porté par la trajectoire, d'origine le milieu du segment $[AB]$ et avec $/s \up 8$( orienté du point $A$ vers le point $B.A$ un instant $t=O_{s}$, le mobile passe par le point $A$ sans vitesse initiale.

1. La longueur du segment $[AB]$ est égale à $4\,cm$

Donner la valeur de l'amplitude $X_{m}$ du mouvement.

2. Le mobile repasse pour la première fois par le point A au bout de $0.5_{s}$
 
2.1. Donner la valeur de la vitesse du mobile au cours de son repassage par le point $A$

2.2. Calculer la valeur de la pulsation  du mouvement.

3. Écrire l'équation horaire du mouvement en précisant les valeurs des paramètres du mouvement.

4. Le mobile passe pour la troisième fois, par le point P situé sur le segment $[AB]$ à $1.1\☺,cm$ du point $A$

Exercice 6

Dans un repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, les lois horaires du mouvement d'un mobile sont :

$x=2t^{3}+4t+2$

$t=t^{3}+21t$ $\text{(le temps t en secondes }, x\text{ et }y\text {en mètres)}$ ;

1. Déterminer les composantes du vecteur vitesse. 

Calculer la valeur de la vitesse à $t=1s$

2. Déterminer les composantes du vecteur accélération. 

Calculer la valeur de l'accélération à $t=1s$

3. Quelle est la trajectoire du mobile?

4. A l'instant $t=1s$, le mobile passe par le point $N$; représenter les vecteurs vitesse et accélération en ce point 

Exercice 7

Trois villes $A$, $B$ et $C$ sont situées le long d'une route rectiligne.

$AB=5\,km$, $AC=10\,km$

A l'instant $t=0$, un mobile $M_{1}$ passe par la ville $A$ et se dirige vers $B$ avec la vitesse constante de $75\,km/h$

1. Quelle est l'équation horaire de $M_{1}$ ?

A quel instant le mobile passe par la ville $B$ ?

2. A l'origine des temps un mobile $M2$ passe par la ville $B$

Il se déplace dans le même sens que
$M_{1}$ d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse $50\,km/h$

A l'instant et en quel lieu $M1$ et $M2$ se rencontrent-ils ?

3. Un mobile $M_{3}$ passe par la ville B à l'instant $140\,s$

Son mouvement est rectiligne uniforme de vitesse $50\,km/h$

A quel instant et en quel lieu $M_{1}$ et $M_{3}$ se rencontrent-ils ?

4. Un mobile $M_{4}$ passe par la ville $B$ à l'instant $140\,s$

Quelle doit être la vitesse minimale pour que le mobile $M_{1}$ ne le rejoigne pas avant la ville $C$ ?

Exercice 8

Dans le référentiel $R$, muni du repère d'espace cartésien$\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\;,k\right)$ , la loi horaire d'un point mobile $M$ est donnée  par : (vecteur, $Om=2ti+\sqrt{4\left(1-t^{2}\right)}j$ avec $t$ exprimé en seconde et les distances en mètre.

1. On suppose : $t>0$ 

Pour quelles valeurs de $t$ le mouvement de M est-il défini ?

2.1. En éliminant le paramètre $t$ dans la loi horaire du mouvement de $M$, déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire de $M$

Montrer qu'il s'agit d'un arc de cercle
2.2. Construire cette trajectoire, sur papier millimétré, à l'échelle : $/40^{\mathrm{e}}$

3.1. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse $V$ du point $M$ dans la base $\left(O\;,\vec{i}\;,`\vec{j}\right)$

Le mouvement de $M$ est-il uniforme ? Justifier la réponse. 

3.2. Représenter, sur le graphique du $2.2$ , le vecteur vitesse du point $M$, $V_{0.5}$ , à l'instant : $t_{0.5}=0.5s$

Échelle de représentation des vecteurs vitesses : $1 \,cm\longleftrightarrow\,0.50\,m\cdot s^{-1}$

4.1.  Exprimer la vitesse angulaire  du point $M$ en fonction du temps.

4.2.  Quelle est sa valeur numérique pour : $t_{0.5}=0.5\,s$ ?

5.1. Exprimer les coordonnées, dans la base de Frenet, du vecteur accélération  de $M$

5.2. Représenter, sur le graphique du $2.2$, le trièdre de Frenet $\text{(échelle }: 1/40)$ et le vecteur à l'instant : $t_{0.5}=0.5s$

Échelle de représentation des vecteurs accélérations : $1\,cm\longleftrightarrow\,0.50\,m\cdot s^{-2}$

6. A la date : $t_{0.5}=0.5\,s,$ le mouvement de $M$ est-il accéléré ou décéléré ? Justifier la réponse.

7. Quelle est la valeur numérique de l'abscisse curviligne de $M$, à la date : $t_{0.5}=0.5\,s$, si l'origine des abscisses curvilignes est la position $M_{0}$ du point $M$ à la date : $t_{0}=0.0s$

Exercice 9

Les coordonnées d'une particule sont données par les fonctions du temps :
 
$x=2t$ et $y=4t(t-1)$

1. Déterminer l'équation de la trajectoire.
 
2. En déduire la nature de la trajectoire 

3. Calculer la vitesse à l'instant $t$
 
4. Montrer que le mouvement a une accélération constante dont on déterminera les composantes tangentielle et normale. 

La courbe de la figure ci-dessous représente les variations de l'élongation $x$ du centre d'inertie $G$ d'un solide $(S)$ en mouvement rectiligne.

1. Quelle est la nature du mouvement du centre d'inertie $G$ de $(S)$ ? 

Justifier la réponse

2. Déterminer graphiquement :

2.1. L'amplitude $X_{\text{max}}$ des oscillations.

2.2. La période $T$ des oscillations.

2.3. La phase initiale $\varphi_{x}$ du mouvement.

3.1. Écrire l'équation horaire du mouvement.

3.2. Calculer la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{0}=Os$ et $t_{1}=0.45\pi s$

4. Déterminer théoriquement l'instant du $3_{\text{ème}}$passage de $G$ par l'élongation $x=-3\,cm$ avec une vitesse négative.

5. Exprimer alors la vitesse instantanée $v(t)$ du centre d'inertie $/G$ en fonction du temps.

6. La courbe $2$ présente les variations de $v^{2}=f\left(x^{2}\right)$

6.1. Justifier théoriquement l'allure de cette courbe.

6.2. Retrouver la valeur de la pulsation $\omega_{0}$ du mouvement.

Exercice 10

Un mobile ponctuel $M$ se déplace sur un axe $\left(x' x\right)$ d'origine $0$

Il est repéré par son abscisse $x\overline{OM}$

L'équation horaire de son mouvement est : $x=2\cdot 10^{-2}\sin\left(40\pi t+\dfrac{0}{2}\right)$

1. Préciser l'amplitude, la pulsation, la période, la fréquence et la phase initiale du mouvement.

2. Quelle est la longueur du segment décrit par $M$ ?

3. Déterminer la vitesse de $M$ à l'instant $t$

En déduire :

$-\ $la vitesse maximale de $M$ ; 

$-\ $la vitesse de $M$ à l'instant $t=1s$

4. Déterminer l'accélération de $M$ lorsque le mobile passe par le point d'abscisse $x=-10^{-2}m$
 
Exercice 11

Un point $M$ décrit un segment de droite $AB$ d'un mouvement rectiligne sinusoïdal. 

La longueur de $AB$ est $4\,cm$

A l'instant $t=0$, le mobile part de $A$ sans vitesse initiale, il repasse pour la première fois par A, au bout de $0.5s$

1. Avec quelle vitesse repasse-t-il en $A$ ?

2. Quelle est la pulsation du mouvement sinusoïdal ?

3. Déterminer l'amplitude du mouvement.

4. Écrire l'équation horaire du mouvement.

5. Au bout de combien de temps, après $t=0$, le mobile passe-t-il pour la troisième fois par le point $P$ situé sur le segment $AB$, à $1.1\,cm$ de $A$ ?
 
Exercice 12

Un mobile ponctuel $M$ est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal de période $T=0.314s$
de part et d'autre d'un point $0.$

1. En choisissant comme origine le point $O$, déterminer l'équation horaire du mouvement du point $M$, sachant qu'à l'origine des temps, son abscisse est égale à $2\,cm$ et sa vitesse est nulle.

2. Quelle est la vitesse maximale du mobile ?

En quel point le mobile acquiert cette vitesse?

3. Quelle est la vitesse du mobile quand son abscisse vaut $0.5\,cm$ ?

4. Calculer la vitesse du mobile à l'instant de date $t=1s$

5. Chercher l'accélération du mobile à l'instant  $t=1s$

Exercice 13

La courbe représente les variations de la vitesse $v(t)=V_{m}\sin\left(\dfrac{2}{T}t+\Phi_{y}\right)$ d'un point mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal

1.1. Nommer les paramètres $V_{m}$, $T$ et $\phi y$ ; déterminer leurs valeurs numériques.

1.2. En déduire l'amplitude $X_{m}$ et la phase à l'origine $\phi x$ de l'abscisse $x(t)$

1.3. Écrire l'équation horaire de $x(t)$

2. A quels instants le mobile passe-t-il par le point d'élongation $x=0.03\,m$ avec une vitesse négative?

Exercice 14

Une voiture $A$, de longueur $d=4\,m$ suit un camion de longueur $D=10\,m$ à la vitesse constant $v_{0}=72\,km/h$ sur une route droite et horizontale. 

La distance entre l'avant de la voiture et l'arrière du camion est alors $L=35\,m$
 
A un instant pris comme une origine des dates, le conducteur de la voiture décide de doubler le camion et impose à son véhicule une accélération constante $a=3.0\,m\cdot s^{-2}$ 

On prendra comme origine le repère la position de l'avant de la voiture au début du dépassement.
 
1. Établir l'équation horaire $x_{av}(t)$ du mouvement de l'avant de la voiture ainsi que celle du mouvement de l'avant du camion, $_{ac}(t)$

2. Si on considère que le dépassement est terminé quand l'arrière de la voiture est $20\,m$ devant l'avant du camion, calculer le durée de dépassement ainsi que la distance parcourue par le camion pendant ce temps.

Exercice 15

Un anneau au bout d'un ressort oscille à la manière sinusoïdale le long d'une tige horizontale. 

On repère sa position par rapport à sa position d'équilibre ; elle est donnée par la fonction $x(t)=X_{m}\cos\left(\omega\cdot t+\phi\right)$ 

1. La longueur totale parcourue par la masse entre ses deux positions extrêmes est de $20\,cm$ Que vaut $X_{m}$ ? 

2.La période des oscillations est $T=0.5s$ Calculer $\omega_{0}$

3. A l'instant $t=0$, la masse est à la position  $x(0)=5.0\,cm$

Calculer $\varphi$

En déduire la position de l'anneau à l'instant $t_{1}=1.5s$
 
4. Exprimer la vitesse de l'anneau en fonction de $X_{m}$, $\omega_{0}$, $\varphi$ et $t$

Calculer sa vitesse maximale. 

5. Établir l'expression de l'accélération de l'anneau en fonction de $X_{m}$, $\omega_{0}$, $\varphi$ et $t$, puis en fonction de $\omega_{0}$ et $x$

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