Dynamique

Exercice 1

Lors d'une éruption, la gorge du volcan $\text{(point } A\text{ situé à } 3 300\,m\text{  d’altitude)}$ projette les pierres avec d'énormes vitesses sous un angle de tir $\alpha$

Dans la suite de l'exercice, on va négliger l'action de l'air sur la pierre. 

Le champ de pesanteur est uniforme de valeur $g=9.8\,m\cdot s^{-2}$

On travaille dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

1. Faire le bilan des forces appliquées à la pierre après la projection.

2. En déduire les caractéristiques de l'accélération de la pierre.

3. Établir les équations horaires du mouvement de la pierre dans le repère $(Ox\;,Oy).$

4. En déduire l'équation et la nature de la trajectoire.

5. Une pierre a été lancée sous un angle $\alpha=35^{\circ}$ et retombe au point $B$, pied du volcan. 

Le point $B$ est situé à l'altitude $O\,m$, à $9400\,m$ de la cheminée du volcan à la même altitude (voir le schéma).
 
Vérifier par calcul que la vitesse initiale $v_{A}$ est voisine de  $260\;,m\cdot s^{-1}$

Dans la suite du problème, on supposera que $v_{A}=260\,m\cdot s^{-1}$

6. Combien de temps, la pierre met-elle pour aller du point $A$ au point $B$ ?

7. Calculer la vitesse d'impact $v_{B}$ au point $B$

8. Un hélicoptère filme, à une altitude de $4500\,m$, le volcan en éruption. 

Peut-il être touché par cette pierre ? 

Justifier la réponse par calcul.

Exercice 2

On considère les points $A$, $B$, $C$

$D$ d'une piste se trouvant dans un plan vertical contenant deux point $O$ et $I$

$AB$ est une piste rectiligne de longueur  formant un angle  avec le plan horizontal contenant les points $A$, $I$, $O$ $BD$ est une circulaire de centre $I$ et de rayon $R=0.9\,m$ $\text{(voir figure }2).$

Un solide ponctuel de masse $m=132$ à été lancé an $A$ et glisse sans frottement jusqu'au point $B$

En arrivant en $B$, il atteint une vitesse. 

Dans la portion $BC$, le solide est soumis à une force de frottement  qui s'oppose à la vitesse.

Il arrive en C avec une vitesse nulle, puis aborde la partie $CD$ sans frottement jusqu'à ce qu'il quitte la piste en $D$

1. Quel est le module du vecteur vitesse $\overline{V_{c}}$ ?
                     
2. Quelle est l'intensité de la force de frottement  $\overrightarrow{j}$?    
                
3. Sur la piste $CD$, la position $M$ du solide est repérée par l'angle .
 
Exprimer en fonction de $R$, $g$ et  le module de la vitesse du solide au point $M$

Calculer cette vitesse en $D$
 
4. Exprimer en fonction de $m$, $g$ et  l'intensité $N$ de la réaction de la piste sur le solide au point $M$ de la piste $CD$

Quelle est la valeur de $N$ en $D$ ?
                                 
5.1. Exprimer dans le repère  l'équation de la trajectoire du mouvement du solide quand il quitte le point $D$
                                                                              
5.2. A quelle distance du point $O$, cette trajectoire coupe-t-elle l'axe $\overline{O_{x}}$ ?      

On donne : $q=10\,m\cdot s^{-2}$ et $\sin\beta=\dfrac{2}{3}$

fig

Exercice 3   

Coup franc

On étudie un coup franc de football tiré à $20\,m$, face au but de hauteur $2.44\,m$ (Cf figure).

Le ballon de masse  $m=430\,g$ est assimilé à un point matériel $M$ posé sur le sol initialement en $O$ Le mur, de hauteur $1.90\,m$, est situé à $9.15\,m$ du ballon. 

Le ballon est lancé avec une vitesse initiale  de norme $20/s$ et formant un angle $\alpha$ de $20^{\circ}$ avec l'horizontale.

L'origine des dates correspond au départ du ballon.

1. Dans un premier temps, on néglige totalement les frottements de l'air.

1.1. Établir les équations horaires du mouvement du ballon ainsi que l'équation de la trajectoire.

1.2. Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?

1.3. Le tir est-il cadré ?

2. En réalité, des frottements existent, qu'on modélise par une force  où $h$ est une constante positive de valeur $5\cdot 10^{-3}\,kg/s$ et le vecteur vitesse de $M$ à chaque instant. 

(Un peu plus dur …) 

2.1. Déterminer les équations horaires du mouvement en introduisant la constante τ=m/h. $t=m/h$

2.2. Donner l'équation de la trajectoire.

2.3. Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?

2.4. Le tir est-il cadré ?

Exercice 4

Dans cet exercice, on étudie le système {motard + moto} en deux phases (voir figure 1) :

$-\ $La phase d'accélération du motard de $A$ à $B$,

$-\ $Le saut (au-delà de $C$)

Données : Intensité de la pesanteur : 

$g=10\,m/s^{2}$ Masse du système {motard + moto} : $m=180\,kg$

$L=BC+8.0\,m\sin\left(2\alpha\right)=2\sin\alpha\times\cos\alpha$

On pose $h=OC=ED$

1. La phase d'accélération du motard 

$-\ $On considère que le motard s'élance, avec une vitesse initiale nulle, sur une piste rectiligne en maintenant une accélération constante.

$-\ $Les évolutions au cours du temps de la valeur de la vitesse du {motard + moto} est représentées la courbe ci-dessous

1.1. Montrer que la courbe donnée en figure $2$ permet d'affirmer que la valeur de l'accélération est constante. 

1.2. Déterminer graphiquement la valeur de l'accélération du motard. 

1.3. Déterminer, la distance parcourue par le motard lorsque celui-ci a atteint une vitesse de $50\;,m\cdot s^{-1}$

2. Le saut 

$-\ $Le {motard + moto} aborde le tremplin au point $B$, avec une vitesse de  $50\,m\cdot s^{-1}$ et maintient cette vitesse jusqu'au point $C$
 
$-\ $Le tremplin est incliné d'un angle $\alpha=30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale.
 
$-\ $Le motard quitte le tremplin en $C$ avec une vitesse initiale $v_{0}=50\,m\cdot s^{-1}$

$-\ $Toutes les actions autres que le poids du système sont supposées négligeables. 

On souhaite étudier la trajectoire du centre G du système dans ces conditions.
 
$-\ $Le repère d'étude $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ est indiqué sur la figure , l'origine des dates est choisie à l'instant où le système quitte le point $C$ (figure $1$).
 
$-\ $La vitesse initiale $v_{0}$ du centre d'inertie $G$ du système est incliné d'un angle $\alpha=30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. 

2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton, démontrer que les équations horaires du mouvement du point

En appliquant la deuxième loi de Newton, démontrer que les équations horaires du mouvement du point $G$ s'écrivent :

$\overrightarrow{OG}\prec x(t)=\left(v_{0}\cos\alpha\right)t$ ; $z(t)=-12ht^{2}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h$

2.2. On considère que l'atterrissage se fasse sur le tremplin en point $D$, calculer la distance maximale $x_{D}2.3$

Calculer la hauteur $h=OC$ du tremplin

Exercice 5

Des électrons pénètrent en $0$, avec une vitesse horizontale de, $2\cdot 10^{7}\,m\cdot s^{-1}$ entre deux plaques horizontales $P_{1}$ et $P_{2}$ , séparées par une distance, $d=2\,cm$ et entre lesquelles est appliquée une tension constante $U=140\,V$

On admettra que le champ électrique qui en résulte agit sur les électrons, sur une distance horizontale 
$L=10\,cm$ mesurée à partir du point $O$

1. Comparer les valeurs du poids d'un électron et de la force électrique qu'il subit à l'intérieur du champ électrique et conclure.

2.1. Donner les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$du mouvement d'un électron dans le repère $\left(O\:;\vec{i}\;,\vec{j}\right)$  entre les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$

2.2. Établir l'équation de la trajectoire d'un électron dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

3. De quelle distance verticale les électrons sont-ils déviés à la sortie au point $A$ des plaques ?

4. Ces électrons forment un spot sur un écran $E$ placé perpendiculairement et la distance  $D=20\,cm$, du centre C des plaques. 

Quelle est la distance $Y$ de ce spot au centre $I$ de l'écran ? 

Exercice 6   

Principe d'un oscilloscope analogique
 
Dans un oscilloscope analogique, un faisceau d'électrons émis en un point $C$, avec une vitesse quasi nulle, est accéléré par une tension $U_{0}$ entre les points $C$ et E situés sur un axe $(Ox)$, puis il pénètre en $O$, avec la vitesse  $O=v_{0}$, dans le champ électrique  supposé uniforme régnant entre deux plaques parallèles métalliques, symétriques par rapport au plan $(Oxz)$, de longueur $L$ et séparées par une distance $d$

Le champ est créé par une tension $U$ appliquée entre ces plaques. 

Le faisceau sort en $A$ de la zone où règne le champ, puis il atteint finalement l'écran de l’oscilloscope en un point $B$ (spot lumineux). 

L'écran est à la distance $D$ du milieu des plaques. 

1.1. Indiquer, en le justifiant, le signe de $V_{E}-V_{C}$ 

1.2. Calculer, en fonction de $U_{0}=V_{E}-V_{C}$ , la norme $v_{0}$ de la vitesse au point $O$ d'un électron, de masse $m$ et de charge $-\mathrm{e}$
 
Données : $U_{0}=1000\,V$

$m=9.1\cdot 10^{-31}\,kg$

$e=1.6\cdot 10^{-19}C $

2. Déterminer l'équation de la trajectoire d'un électron entre $O$ et $A$
 
En déduire l'ordonnée $y_{A}$ du point de sortie $A$
 
3.1. Quel est la nature du mouvement d'un électron entre $A$ et $B$, où ne règne aucun champ ?
 
3.2. Déterminer l'équation de cette trajectoire et montrer que l'ordonnée  $y_{B$ du spot est proportionnelle à la tension U appliquée entre les plaques. 

Exercice 7

Deux plaques métalliques verticales $(A)$ et $(B)$ sont placées dans le vide à une distance  l'une de l'autre et sont soumises à une tension  positive. 

La hauteur des plaques est  (voir schéma ci-dessous). 

Entre les plaques se superposent deux champs : le champ de pesanteur supposé uniforme, caractérisé par, et un champ électrique uniforme, caractérisé par 

Une petite sphère $M$ ponctuelle de masse, pesante, portant une charge électrique positive, est abandonnée sans vitesse initiale à l'instant  en un point  dont les coordonnées dans le système d'axes , $X'Ox$  $y'oy$ sont et  $x0=d/2$ et $y_{0}=1$

On ne peut pas négliger l'action de la pesanteur.
Données :

Accélération de la pesanteur : $g=10\;,m\cdot s^{-2}$

Distance entre les plaques : $d=4\,cm$
Hauteur des plaques : $l=1\,m$

Rapport charge/masse de la sphère :$\dfrac{q}{m}=10^{-6}C\cdot kg^{-1}$

1. Faire le bilan  les deux forces qui agissent sur la petite sphère. 

Montrer que cette dernière reste dans le plan de la figure  $(O\;,x\;,y)$

2. En déduire les composantes sur les axes  $Ox$ et $Oy$ du vecteur accélération   ; du mouvement de la sphère.

3. Déterminer, en fonction du temps :

3.1. Les coordonnées du vecteur vitesse   ;

3.2. Les coordonnées du vecteur position   

4. Écrire l'équation de la trajectoire. 

Quelle est sa nature ?

5. Calculer le temps d'arrivée de la charge dans le plan horizontal passant par $0$
 
Quelle valeur doit-on donner à $U_{AB}$ pour que la trajectoire de la charge passe par le point $P$ de cordonnées $(d\;,O)$ ?

Exercice 8

Une particule $\alpha$ (noyau d'hélium : $_{-/2}^{-4}He^{2-})$ arrive au point $O$ dans un condensateur plan avec une vitesse $0$ de direction parallèle aux armatures $C$ et $D$ du condensateur

$-\ $On négligera le poids de la particule $\alpha$ devant la force électrostatique.

$-\ $On rappelle que pour un condensateur plan : $E=U/d$

$-\ v_{0}=5.00\cdot 10^{5} m\cdot s^{-1}$ ; 

$\mathrm{e}=1.60\cdot 10^{-19}C$ ; 

$m_{\alpha}=6.64\cdot 10^{-27}kg$

1. Quelle est la charge $q$ de la particule $\alpha$

2. Indiquer quelle doit être la polarité des plaques afin que la particule $\alpha$ soit déviée vers le haut.

Détailler le raisonnement.

3. Recopier la figure sur sa feuille et indiquer le champ électrostatique existant entre $C$ et $D$, ainsi que la force électrostatique qui s'applique sur la particule $\alpha$ en un point de la trajectoire.

4. Établir les équations horaires et l'équation de la trajectoire de la particule $\alpha$

On choisira le repère indiqué sur le schéma.

Le référentiel associé sera supposé galiléen.

5. Exprimer, à l'aide de l'équation de la trajectoire, la tension $U$ en fonction des grandeurs $m$, $\mathrm{e}$, $v_{0}$, $x$, $d$ et $y$

6. Calculer sa valeur pour que la particule sorte au point $S$ d'ordonnée  $yS=1.00\,cm$

7. Déterminer l'expression et la valeur de la vitesse de la particule $\alpha$ lorsqu'elle se trouve au point $S$

8. Retrouver cette valeur en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.

Exercice 9

Dans tout cet exercice on négligera le poids des particules devant la force électrostatique.

1. Des ions $A1^{3+}$  de masse  $m=1.2\cdot 10^{-26}kg$ sont émises en un point $A$ d'une plaque avec une vitesse négligeable (voir schéma ci-dessous). 

Une autre plaque parallèle à la première est percée d'un trou $B$

Entre les deux plaques distantes de $AB=5\,cm$ est établie une différence de potentiel $U_{AB}$

On admettra que les ions sortent en $B$ à la vitesse parallèle à l'axe $x'x$ et d'intensité $VB=3.105\,m\cdot s^{-1}$ 

1.1 Indiquer le signe de la tension  $U_{AB}$et calculer sa valeur.

1.2 Établir l'expression de l'accélération prise par les ions. 

En déduire le temps de transit entre $A$ et $B$

2. Ces ions pénètrent en $O$ entre les plaques horizontales $P_{1}$ et $P_{2}$ d'un condensateur de longueur $L=10\,cm$

A l'intérieur des plaques distantes de  $d=5\,cm$ règne un champ électrostatique  d'intensité  $E=10^{4}V\cdot m^{-1}$ (voir figure ci-dessous).

On observe sur une plaque photographique disposée perpendiculairement à $(x'x)$, à une distance $D$ du centre $M$ du condensateur une tâche lumineuse $I$

2.1 Décrire le mouvement des ions entre $B$ et $O$

2.2 Indiquer sur la figure le sens du champ  entre les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$

3.1 Établir l'expression littérale de l'équation de la trajectoire d'un ion dans le plan  $(oX\;,oy).$

3.2 Déterminer la valeur de la distance $D$ à laquelle on doit placer la plaque photo graphique pour que la mesure de la déviation donne $HI=22\,cm$ ?

Donnée : charge élémentaire : $\mathrm{e}=1.06\cdot 10^{-19}C$

Exercice 10

Deux armatures $(A)$ et $(B)$ d'un condensateur plan sont disposés dans le vide parallèlement à l'axe $(Ox)$ Leur longueur est $l=10\,cm$ et la distance qui les sépare est $d=4\,cm$

Un faisceau d'ions hélium $\left(_{2}^{4}He^{2+}\right)$ pénètre en $O$ équidistants des armatures avec une vitesse $V_{0}$ parallèlement à l'axe $(Ox)$ et de valeur  $V_{0}=2.9\cdot 10^{5}m\cdot s^{-1}$

Le poids de ces particules n'a aucun effet sur leur mouvement.

3.1.1. Donner la direction et le sens du vecteur champ électrique $E$ pour que ces ions soient déviés vers le haut (point $M$ de la figure)

3.1.2. Quel est alors le signe de la tension UAB = VA 

$U_{AB}=V_{A}-V_{B}$ établie entre les armatures $(A)$ et $(B)$ ?

3.1.3. La trajectoire des ions à l'intérieure du condensateur se trouve dans le plan contenant le repère  

3.1.3.1. Établir dans ce repère, l'équation de cette trajectoire.

3.1.3.2. Quelle est sa nature ?

3. 2. Quelles sont les valeurs de la tension $U_{0}=U_{AB}$ qui permettent la sortie des ions du condensateur ?

3.3. Un écran fluorescent placé à la distance $D=25\,cm$ du point $I$ (milieu du segment 
$[OH)$, perpendiculaire à l'axe $(Ox)$ reçoit les ion $_{2}^{4}He^{2+}$ au point $P$ tel que $O'p=7\,cm$

3. 3.1. Quelle est la nature du mouvement des ions entre $M$ et $P$ ?

3. 3.2. Montrer que la tension $U_{0}$ est proportionnelle à $O'P$ (c'est à dire $U_{0}=kO'P)$

3.3.3. Déterminer le coefficient de proportionnalité $k$ en $V/m$ puis en $V/cm$ (on admettra que la tangente à une parabole de sommet $O(0.0)$ au point d'abscisse $x$

coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse  $1/2x$)

3. 3.4. En déduire la valeur de la tension $U_{AB}$

Données : Masse d'un ion $_{2}^{4}He^{2+}$ : $m=4u$ ; 

unité de masse atomique : $u=1.66\cdot 10^{-27}kg$ ; charge élémentaire (charge d'un proton) : $\mathrm{e}=1.6\cdot 10^{-19}C$