Gravitation universelle

Exercice 1

Dans un repère géocentrique supposé galiléen, on considère un satellite de centre d'inertie $S$ dont la trajectoire est une orbite circulaire située dans le plan équatorial à l'altitude $h=7.8\cdot 10^{5}m$ autour de la terre.

On considère que la terre est sphérique et homogène de masse $M_{T}$, de centre d'inertie O de rayon $R_{T}$

On n'admet que toute action mécanique autre que l'attraction gravitationnelle entre le satellite est négligeable.

Données : $R_{T}=6370\,km$, $G=6.6\cdot 10^{-11}m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}$, $g_{0}=9.8\,m\cdot s^{-2}$

1.1. Faire un schéma sur lequel apparaitra la force exercée par la terre sur le satellite, le vecteur champ gravitationnel créé en $S$ et le vecteur unitaire $\overline{U}_{os}$  $\text{(dirigé de }O\text{ vers }S).$

1.2. A partir de la loi de gravitationnelle universelle, établir la valeur du vecteur champ de gravitation $g$

à l'altitude h en fonction de $G$, $M_{T}$, $R_{T}$, et $h$

1.3.  Exprimer $g_{o}$ au sol.

1.4. En déduire que $g_{0}=g_{0}\cdot Rr^{2}/\left(R_{T}+h\right)^{2}$

1.5. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.

1.6. Établir l'expression de la vitesse $V$ du satellite dans le référentiel géocentrique en fonction de $g_{0}$, $R_{T}$, $h$

1.7. Dans le même repère, établir l'expression de la période $T$ et de la vitesse angulaire $\omega$

2. On considère maintenant un satellite en orbite basse à l'altitude $\omega$,

2.1. Calculer $v$, $T$ et $\omega$

2.2. Le satellite se déplace dans le même sens que la terre.

Déterminer la durée $T$ qui sépare deux passagers successifs du satellite à la verticale d'un point donné de l'équateur.

On suppose que la période de rotation de la Terre sur elle- même est $T_{0}=8.6\cdot 10^{4}S$

3. On considère maintenant un satellite en orbite géostationnaire.

3.1. Quelle est la particularité d'un satellite géostationnaire ?

3.2. Exprimer l'altitude h à laquelle évolue un  tel satellite puis la calculer

Exercice 2

Galilée commença à observer la planète Jupiter en janvier $1610$ avec une lunette de sa fabrication.

Il découvrit qu'autour de Jupiter tournaient " quatre lunes ", auxquelles il donna le nom d'astres médicéens ; ce sont quatre satellites de Jupiter : Io, Europe, Ganymède et Callisto.
Données :

Constante de gravitation universelle : $G=6.67\cdot 10^{-11}S\cdot I$
 
Masse de Jupiter : $M_{J}=1.9\cdot 10^{27}kg$

Rayon de Jupiter : $R_{J}=7.15\cdot 10^{4}km$

Période de rotation de Jupiter sur elle-même (ou rotation propre) : $T_{J}=9\,h55\,min$

Masse du satellite Europe $\text{(noté }E)$ : $M_{E}$
 
Rayon de l'orbite du satellite Europe : $r_{E}=6.7\cdot 10^{5}km$

Période de révolution du satellite Europe autour de Jupiter : $T_{E}=3\,j13\,h14\,14\,min$
 
Tous les corps seront supposés à répartition de masse à symétrie sphérique.

On supposera que chaque satellite n'est soumis qu'à l'influence de Jupiter.

1.1. Représenter sur un schéma la force de gravitation $\overline{F}_{JE}$ exercée par Jupiter sur Europe, et celle $\overline{F}_{EJ}$ exercée par Europe sur Jupiter.

1.2.  Donner l'expression vectorielle de $\overline{F}_{JE}$, les centres des deux astres étant séparés d'une distance $d.$

2.1. Le mouvement du satellite Europe $\text{(noté }E)$ est étudié dans le référentiel " jupitocentrique ".

$-\ $Par analogie avec le référentiel géocentrique, donner les caractéristiques du référentiel " jupitocentrique ".

$-\ $Montrer que le mouvement du satellite Europe en orbite circulaire est uniforme dans le référentiel " jupitocentrique ".

2.2. Comparer les vecteurs vitesses $1$ et $2$ et accélération $1$ et $2$ du satellite aux points $E_{1}$ et $E_{2}$
*
Reproduire le document $20$ et $y$ tracer ces vecteurs (avec les mêmes échelles en $E_{1}$ et $E_{2}$).

3.1. Établir que la valeur de la vitesse d'un satellite de Jupiter est telle que :
où $r$ désigne le rayon de l'orbite du satellite.

3.2.  En déduire l'expression de la période $T$ de révolution du satellite en fonction de $G$, $M$ $J$ et $r.$

3.3.1. Montrer que le rapport  est constant pour les différents satellites de Jupiter ; à quelle loi de Kepler correspond-il ?

3.3.2.  La période de révolution de $I_{o}$ autour de Jupiter est $TI_{o}=1\,j18\,h 18\,min.$, un autre satellite de Jupiter, possède une orbite de rayon moitié de celui de l'orbite de $I_{o}$

Déterminer la période de révolution $T_{TH}$ de Thébé autour de Jupiter.

3.4. Par analogie avec la définition d'un satellite géostationnaire, un satellite " jupitostationnaire " est un satellite fixe par rapport à Jupiter.

Europe est-il " jupitostationnaire " ?

Justifier, sans calculs, uniquement à l'aide des données fournies

Exercice 3

Donnée : La constante de gravitation :

$G=6.67\cdot 10^{-11}$

$N\cdot m^{3}kg^{-2}$

Jupiter est une planète géante gazeuse.

Il s'agit de la plus grosse planète du Système solaire, et la cinquième planète par sa distance au Soleil.

L'exploration de cette planète, par les Sondes spatiales voyager $1$ et voyager $2$, a permis de calculer son rayon $R$ et sa masse $M$, après avoir mesuré la valeur de l'intensité de pesanteur $g$ à deux altitudes différentes.
 
Les résultats obtenus sont groupés dans le tableau

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Position de la sonde }&M_{1}&M_{2}\\ \hline \text{Altitude }&h_{1}=278\cdot 10^{3}km&h_{2}=650\cdot 10^{-3}km\\ \hline \text{Intensité de pesanteur }&g_{1}=1.04\,N\cdot kg^{-1}&g_{2}=0.243\,N\cdot kg^{-}\\ \hline \end{array}$

1. Écrire l'expression de l'intensité $FJ/S$ de la force exercée par Jupiter sur la sonde de masse $m$, et représenter cette force  

$\overline{F}_{j/s}$ (sans souci d'échelle) sur le schéma de la figure

2. Sachant que l'intensité de pesanteur est donnée par : $g=g_{o}\dfrac{R^{2}}{\left(R+h\right)^{2}}$

2.1. Donner la signification de $g_{0}$, et écrire son unité dans $S.I$

2.2. Déduire les expressions des intensités de pesanteur $g_{1}$ et $g_{2}$ crées par la planète Jupiter aux positions $M_{1}$ et $M_{2}$ respectives des deux sondes voyager $1$ et voyager $2$

2.3. Exprimer le rapport $K=\sqrt{\dfrac{g_{1}}{g_{2}}}$ en fonction des paramètres : $R$, $h_{1}$ et $h_{2}$

Puis calculer sa valeur à partir du tableau.

2.4. Montrer que le rayon $R$ de Jupiter peut s'écrire : $R=\dfrac{h_{1}-Kh_{2}}{K-1}$    Calculer sa valeur.

2.5. Déduire la masse $M$ de la planète Jupiter

Exercice 4

Jupiter possède $16$ satellites ($4$ petits satellites en orbite circulaire équatoriale très proche de la planète, $4$ gros satellites dits galiléens également en orbite circulaire équatoriale et $8$ satellites en orbite elliptique).

On considère que Jupiter et ses satellites sont des corps dont la répartition de masse est à symétrie sphérique.

1. Étude générale

On s'intéresse au mouvement du centre d'inertie d'un satellite en orbite circulaire autour de Jupiter.

L'étude est faite dans un référentiel “jupitér ocentrique”, d'origine le centre de Jupiter et d'axes dirigés vers trois étoiles fixes.

$-\ $Jupiter : masse $M_{j}$ ; centre d'inertie $j$ ;

$-\ $satellite : masse $ms$ ; centre d'inertie $S$ ; rayon de la trajectoire $r_{s}$ ; période de révolution $T_{s}$ ;

$-\ $constante de gravitation universelle : $G$

1.1. Dans le cas général, donner les caractéristiques du vecteur accélération a d'un point en mouvement circulaire et uniforme.

Préciser l'expression littérale de la valeur de a en fonction de la vitesse $v$ du point et du rayon $r$ de sa trajectoire.

1.2. Donner les caractéristiques de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Jupiter sur le satellite.

Faire un schéma.

1.3. En déduire les caractéristiques du vecteur accélération $as$ du centre d'inertie $S$ du satellite.

Les interactions entre le satellite et les autres corps (planètes, autres satellites) sont négligées.

1.4. En modélisant le mouvement du centre d'inertie S par un mouvement circulaire uniforme, établir l'expression de la vitesse vs du point $S$ en fonction de $G$, $M_{j}$ et $r_{s}$

1.5. En déduire l'expression de la période de révolution $T_{s}$ du satellite en fonction de $G$, $M_{J}$ et $r_{s}$

2. Les satellites de Jupiter On a représenté ci-contre, pour les huit premiers satellites de Jupiter, les variations de la grandeur $T_{2}$ en fonction de la grandeur $r^{3}$
 
Donnée :$g=6.67\cdot 10^{-11}N\cdot m^{3}\cdot kg^{2}$

 2.1. Quelle loi retrouve-t-on ? Justifier.
 
2.2. Déduire du graphique la valeur approchée de la masse de Jupiter

Exercice 5

L'énergie potentielle de gravitation d'un objet ponctuel (ou à symétrie sphérique), de masse $m$, dans le champ de gravitation d'un autre objet ponctuel, de masse $M$, a pour expression : avec $r$ la distance entre les deux objets et $G$ la constante de gravitation universelle.

Ici la référence des énergies potentielles est choisie nulle pour une distance $r$ qui tend vers l'infini.

1.1. Comment varie $E_{p}$ si la distance $r$ augmente ?

1.2. Est-ce cohérent avec l'énergie potentielle de pesanteur ?

2. En appliquant la loi de gravitation universelle à l'objet de masse $m$ et en utilisant la base de Frenet, déterminer :
 
2.1. La nature du mouvement de l'objet de masse $m$ ;
 
2.2. Sa vitesse $v$ en fonction de $G$, $M$ et $r.$

3. En déduire son énergie cinétique en fonction de $G$, $m$, $M$ et $r.$
 
4. Comparer cette expression à $E_{p}$ et relier $E_{c}$ et $E_{p}$
 
5. En déduire l'énergie mécanique $E_{M}$ de l'objet de masse $m$ en fonction :

5.1. De $E_{p}$

5.2. De $E_{c}$

Exercice 6

En Juillet $2004$, la sonde européenne Cassini-Huygens nous a livré ses premiers clichés des anneaux de Saturne.

Elle a également photographié Titan, le plus gros satellite de Saturne, situé à une distance $R_{I}$ de Saturne.

L'excentricité orbitale des satellites étant très faible, on supposera leurs trajectoires circulaires.

Dans tout l'exercice, on se place dans le référentiel saturno-centrique, centré sur Saturne et dont les trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines supposées fixes.

On considère que la planète Saturne et ses satellites sont des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique.

Les rayons des orbites des satellites sont supposés grands devant leur taille.

Données : $G=6.67\cdot 10^{11}S\cdot I$ : constante de gravitation universelle.

Concernant Titan : $R_{T}=1.22\cdot 10^{6}km$ (rayon de l'orbite de Titan).

Concernant Saturne : $R_{S}=6.0\cdot 10^{4}km$  (rayon de la planète Saturne).

$Ts=10h39min$ (période de rotation de Saturne sur elle-même).

$M_{S}=5.69\cdot 10^{26}kg$ (masse de Saturne).

1. Quelques caractéristiques de Titan :

1.1. Forces

On considère que la seule force

gravitationnelle exercée sur Titan provient de Saturne.

1.1.1. Nommer la (les) force $(s)$ extérieure$(s)$ appliquée$(s)$ au satellite Titan, de masse $M_{T}.$

1.1.2. Représenter qualitativement sur un schéma, Saturne, Titan, et la (les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) sur Titan.

1.1.3. Donner l'expression vectorielle de cette (ces) force$(s)$.

1.2. Accélération et vitesse

On étudie le mouvement du centre d'inertie $T$ de Titan.

$S$ est le centre d'inertie de Saturne.

Soit  le vecteur unitaire porté par la droite $ST$ dirigé de $S$ vers $T$

1.2.1. Exprimer son accélération vectorielle $\vec{\alpha}$ en précisant la loi utilisée.

1.2.2. On se place dans la base orthonormée $\left(\vec{t}\;,\vec{\pi}\right)$ centrée en $T$ dans laquelle $\vec{t}$

est un vecteur unitaire porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement et  un vecteur unitaire perpendiculaire à  et dirigé vers l'intérieur de la trajectoire $\left(\overline{n}=-\overline{u}\right)$

On donne l'expression de  dans la base orthonormée $\left(\overline{t}\;,\overline{n}\right)\ :\ \overline{\alpha}\overline{t}+a_{a}\overline{n}$

Donner les expressions littérales de $a_{t}$ et de $a_{n}$ en fonction de la vitesse $v$ du satellite.

1.2.3. À quelle composante se réduit l'accélération vectorielle $\overline{\alpha}$ de Titan dans la base orthonormée $\left(\overline{t}\;,\overline{n}$ ?

Compléter alors le schéma précédent, avec la base orthonormée $\left(\overline{t}\;,\overline{n}\right)$ et l'accélération $\overline{a}$ de Titan.

1.3. Type de mouvement

1.3.1. Montrer que le mouvement de Titan est uniforme.

1.3.2. Retrouver l'expression de la vitesse de Titan sur son orbite autour de Saturne : $v=\sqrt{\dfrac{GM_{s}}{R_{t}}}$

2. D'autres satellites de Saturne :

Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février $2005$

On peut considérer que dans le référentiel saturno-centrique, Encelade à un mouvement de révolution circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est $T_{E}=1.37$, et le rayon est $R_{E}$

2.1. Loi de Kepler

La relation qui lie la période $T$ de révolution d'un satellite, sa vitesse $v$ et le rayon $R$ de son orbite est $T=\dfrac{2\piR}{v}$

Sa vitesse de révolution autour de Saturne est donnée par : $v=\sqrt{\dfrac{GM_{s}}{R}}$

2.1.1.     Retrouver la troisième loi de Kepler.

$\dfrac{T^{2}}{R^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{GM_{s}}$

2.1.2.     Utiliser la troisième loi de Kepler pour déterminer la valeur du rayon $R_{E}$ de l'orbite d'Encelade.

3. Sonde saturno-stationnaire :

On cherche dans cette partie à déterminer l'altitude $h$ à laquelle devrait se trouver la sonde Cassini pour être saturno-stationnaire (immobile au-dessus d'un point de l’équateur de Saturne).

3.1. Quelle condition doit-on avoir sur les périodes $T_{s}$ (rotation de Saturne sur elle-même) et Tc (révolution de Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit « saturno-stationnaire » ?

3.2. Altitude de la sonde

3.2.1. En utilisant la troisième loi de Kepler donnée à la question

2.1.1.  Montrer que l'altitude $h$ de la sonde peut se calculer avec la relation : $h=3\sqrt{\dfrac{T_{c}^{2}GM_{s}}{4\pi^{2}}}-R_{s}$

3.2.2. Calculer la valeur de $h$

Exercice 7

Point d'équigravité
 
La distance entre les centres de la Terre et de la Lune est, en moyenne, de $L=384000\,km.$

Il existe un point $A$, situé entre ces deux planètes, où les forces de gravitation générées par ces deux planètes se compensent.

1. Schématiser la situation : on notera $d$ la distance entre $A$ et le centre de la Terre, $d'$ la distance entre $A$ et le centre de la Lune.

2. Exprimer L en fonction de $d$ et $d'$
 
3. Donner l'expression de la force de gravitation $F$ exercée par la Terre, de masse notée $MT$, sur un objet de masse m situé en $A$

4. Donner l'expression de la force de gravitation $F'$ exercée par la Lune, de masse notée $M_{L}$, sur ce même objet de masse $m$ situé toujours en $A$
 
5. Quelle relation existe-t-il entre ces deux forces $F$ et $F'$ ?
 
6. En déduire la position du point $A$ en vous aidant des relations formulées aux questions $2.$ et $5.$ Sachant que : $\dfrac{M_{r}}{M_{L}}=81.5$

Exercice 8

Un satellite de la terre est abandonné à une altitude $h_{0}=5\cdot 10^{4}\,km$ de la terre.

Ce satellite effectue des rotations autour de la Terre mais perd à chaque tour le dix millième de l'altitude qu'il avait au tour précédent.

N.B : Dans tout l'exercice, nous assimilons la Terre et le satellite à des solides ponctuels.

On prendra : Masse du satellite $M_{0}=360\,t$ ; masse de la Terre $M_{T}=5.98\cdot 10^{24}kg$

1. Définir satellite de la Terre.

2. Établir l'expression de l'altitude $h_{n}$ de ce satellite à la fin du nième tour en fonction de $h_{0}$ et $n$
 
3. En déduire l'intensité du champ de gravitation terrestre au centre de ce satellite à la fin du dixième tour.

On donne : rayon de la $R_{T}=6400\,km$

4. Au bout de combien de tours (à partir de l'instant où on lâche ce satellite), deviendra-t-il géostationnaire?

On rappelle qu'un satellite de la Terre est dit géostationnaire lorsque son altitude est d'environ $h_{S}=36000\,km$

5.Calculer alors la variation de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite entre l'instant où on le lâche et l'instant où il devient stationnaire.

6. En réalité, la masse du satellite ne reste pas constante car il consomme pendant son mouvement du carburant.

Sachant que les masses de carburant restant dans le réservoir du satellite après chaque tour évoluent selon une progression géométrique de raison  $q_{0}=0.98$ et de valeur initiale $M_{0}=360\,t$

6.1. Déterminer l'expression de l'intensité du champ de gravitation terrestre au centre du satellite à la fin du nième tour.

6.2. En déduire l'expression de la force d'attraction gravitationnelle à laquelle est soumis le satellite dès qu'il atteint l'altitude $h_{S}$