Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Exercice 1

Le spectrographe de masse est un dispositif utilisé pour la séparation des isotopes.

Il est constitué :
$-\ $d'une chambre $(1)$ d'ionisation dans laquelle sont ionisés les isotopes à séparer,

$-\ $ d'une chambre $(2)$ d'accélération des ions dans laquelle règne un champ électrique uniforme $E$ créé par une tension $U=V_{p1}-V_{p2}$ appliquée entre deux plaques $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ parallèles et distantes de $d.$

$-\ $d'une chambre $(3)$ de déviation dans laquelle règne un champ magnétique uniforme $B$

$-\ $d'un détecteur d'ions

On se propose de séparer des isotopes de l'élément cuivre $Cu^{2+}$ de charge $q=2e>0$

On négligera dans tout l'exercice, le poids de l'ion cuivre devant les autres forces qui interviennent.

1.1. Préciser le sens de pour que des ions positifs, sortant de la chambre d'ionisation en $O_{1}$ avec une vitesse nulle, aient, dans la chambre d'accélération, un mouvement rectiligne accéléré suivant la direction $O_{1}O_{2}$

Justifier.

1.2. Déduire, en justifiant, le signe de $U.$

2.1. Établir l'expression de l'accélération a en fonction de $m$, $E$ et $q$

2.2. Montrer qu'au point $O_{2}$, l'énergie cinétique est la même pour les différents types d'ions accélérés qui correspondent au même élément chimique et qui portent la même charge électrique.

En est-il de même pour les vitesses ? Justifier la réponse.

3.1. Dans la chambre $(3)$ règne un champ magnétique $B$ normal au plan contenant $O_{1}$, $O_{2}$ et $I.$

Préciser son sens pour que des ions positifs soient déviés vers un point d'impact $I$ du détecteur.

3.2. Représenter sur la page à rendre, la force de Lorentz $F_{B}$ qui s'exerce sur un ion rentrant par le point $O_{2}$ ainsi que le vecteur champ magnétique $B$ qui règne dans la chambre $(3)$

4.1. Montrer que le mouvement des ions $Cu^{2+}$ dans la chambre $(3)$ de déviation est circulaire uniforme de rayon $R$ avec : $R=\dfrac{mv}{qB}$

4.2. Établir l'expression de ce rayon $R$ en fonction de $m$, $e$, $U$ et $U$ et $B$

5. Déterminer l'intensité du champ magnétique $B$ qui doit régner dans la chambre $(3)$ pour que l'ion

$Cu^{2+}$ de masse $m_{1}=105.21\cdot 10^{-27}\,kg$

dont le nombre de masse $A_{1}=63$, vienne frapper le détecteur au point d'impact $I$ tel que $O_{2}I_{1}=18\D,cm$

6.1. Au niveau du détecteur et en un point $I_{2}$, tel que $O_{2}I_{2}=18.4\,cm$ on reçoit l'ion positif désigné par masse $^{a2}Cu^{2+}$
$$\left(\dfrac{O_{2}I_{2}}{O_{2}I_{i}}\right)=\dfrac{A_{2}}{A_{1}}$

masse $m_{2}$
 
Montrer la relation :

6.2. Déterminer le nombre de masse $A_{2}$ de l'ion considéré.

On donne : $e=1.6\cdot 10^{-19}C$ ;

$|U|=\left|V_{p1}-V_{p2}\right|=500\,V$ ;

$u=1.67\cdot 10^{-27}kg$$ et masse d'un ion : $m_{i}-A_{i}u$

Exercice 2

Données :
$-\ $Charge élémentaire $\mathrm{e}=1.602\cdot 10^{-19}C$

$-\ $Unité de l'électronvolt : $1\,eV=1.602\cdot 10^{-19}J$

$-\ $Nombre d'Avogadro $N_{A}=6.022\cdot 10^{23} mol^{-1}$

$-\ $Les deux principaux isotopes de l'uranium sont $_{92}^{235}U$ et $_{92}^{235}U$ de masses molaires respectives

$235.0439\,g\cdot mol^{-1}$ et $238.0508\,g\cdot molk^{-1}$

La France produit l'essentiel de son électricité - environ $75\%$

$-\ $à partir de centrales électriques nucléaires.

Ces centrales utilisent comme source d'énergie un « combustible » constitué d'oxyde d'uranium enrichi en uranium $235$, seul isotope fissible, afin d'atteindre une teneur de l'ordre de $4\%$

Avant utilisation dans une centrale, le minerai doit donc d'abord être traité afin de produire ce combustible.

L'enrichissement de l'uranium a pour but d'élever la teneur en $^{235}U$ de l'uranium de départ à une valeur optimale pour l'application souhaitée.

Une des méthodes est la spectrographie de masse qui reste la méthode la plus sensible d'analyse isotopique.

Un spectrographe de masse se compose de quatre parties :

$-\ $La chambre d'ionisation dans laquelle des atomes d'uranium $_{92}^{235}U$ et $_{92}^{235}U$ de masses respectives $m_{1}$ et $m_{2}$ portés à haute température sont ionisés en ions $U^{+}$

On considérera qu'à la sortie de cette chambre, en $O_{1}$, la vitesse des ions est quasi nulle.

$-\ $La chambre d'accélération dans laquelle les ions sont accélérés entre $O_{1}$ et $O_{2}$ sous l'action d'une différence de potentiel établie entre les deux grilles $G_{1}$ et $G_{2}$

$-\ $La chambre de déviation dans laquelle les ions sont déviés par un champ magnétique uniforme $\rightarrow B$ de direction perpendiculaire au plan de la figure.

$-\ $Un collecteur d'ions est disposé entre $M$ et $N.$

Une fente centrée sur $O_{2}$ de largeur $L$ dans le plan de la figure permet de choisir la largeur du faisceau incident.

Une fente collectrice centrée sur $F$ est placée entre $M$ et $N$ et a pour largeur $L'$ dans le plan de la figure.

Les chambres sont sous vide, ce qui permet de considérer que les particules n'interagissent pas entre elles.

On négligera le poids des ions devant la force électromagnétique et on admettra qu'à la sortie de la chambre d'accélération, les vitesses des ions sont contenues dans le plan de la figure.

1 Préliminaires

1. Justifier que le poids des atomes d'uranium est bien négligeable devant la force de Lorentz électrique et magnétique (on proposera des valeurs raisonnables des champs électrique, magnétique et de la vitesse de la particule chargée).

2. Accélération des ions

2.1. Établir l'expression de l'augmentation de l'énergie cinétique des ions $U^{+}$ entre $O_{1}$  et $O_{2}$
 
On l'exprimera en fonction de la différence de potentiel $V_{G1}$-$V_{G2}$

2.2. Quel doit être le signe de la différence de potentiel $V_{G1}$-$V_{G2}$ pour que les ions soient accélérés entre $O_{1}$ et $O_{2}$ ?

2.3. Établir les expressions des vitesses $v_{235}$ et $v_{238}$ respectivement des ions $_{92}^{235}U^{+}$ et $_{92}^{235}U^{+}$ lorsqu'ils parviennent en $O_{2}$ en fonction de $m_{235}$, $m_{238}$ et $U=V_{G1}-V_{G2}$

2.4. L'énergie cinétique acquise par les ions en O$O_{2}$ est de $15.0\,keV.$
 
En déduire la valeur de la tension U appliquée entre les deux grilles.

Déterminer numériquement les vitesses $v_{235}$ et $v_{238}$ en respectant les chiffres significatifs.

3. Déviation des ions

3.1. Quel doit être le sens du champ magnétique  régnant dans la chambre de déviation pour que les ions puissent atteindre le collecteur ?

3.2. Montrer que le mouvement dans le champ magnétique est uniforme.

3.3. Par une méthode de votre choix, déterminer la nature de la trajectoire d'un faisceau homocinétique d'ions $_{92}^{235}U^{+}$ dans la zone où règne le champ magnétique.

Exprimer leur rayon $R_{238}$ en fonction de $m_{235}$, $\mathrm{e}$, $U$ et $B$

Faire de même pour un faisceau homocinétique d'ions $_{92}^{238}U^{+}$, on notera $R_{238}$ le rayon de leur trajectoire.

2.4. Le collecteur consiste en un récipient métallique muni d'une fente centrée en $F$ de largeur $L'$ placée entre $M$ et $N$ qui permet de recueillir les isotopes $235$

Quelle doit être la valeur du champ magnétique régnant dans le spectromètre sachant que la fente $F$ est placée à $D=940\,mm$  de $O_{2}$ ?

2.5. Le faisceau d'ions émis en $O_{2}$ est un faisceau parallèle dans le plan de la figure.

La fente du collecteur a une largeur de $L'=4.0\,mm$ dans le plan de la figure.

Peut-il y avoir séparation isotopique dans le récipient du collecteur ?

Exercice 3
 
Dans une chambre d'ionisation $(1)$ on produit des ions $Zn^{2+}$ de masse m et de charge $q=2\mathrm{e}$

Ces ions pénètrent par le trou $T_{1}$ d'une plaque $P_{1}$ dans une enceinte $(A)$ ; leur vitesse en $T_{1}$ est négligeable.

Dans l'enceinte $(A)$, ces ions sont accélérés par une tension $U=V_{p1}V_{p2}$, puis sortent de $(A)$ par un trou

$T_{2}$ percé dans la plaque $P_{2}$

Ils pénètrent alors dans une enceinte $(D)$ où règne un champ magnétique uniforme et constant perpendiculaire au plan de la figure.

La vitesse des ions en $T_{2}$ est $V$

On néglige le poids devant les autres forces.

On donne :

$\mathrm{e}=1.6\cdot 10^{-19}C$ ; $U=4000\,V$ ; $B=0.1\,T$ ; $1\,u=1.67\cdot 10^{-27}\,kg$

1. Exprimer la vitesse en fonction de $e$, $m$ et $U.$

2. Préciser le sens de pour que les ions puissent être recueillis dans la fente $O$ du collecteur $(C)$

3. Montrer que le mouvement circulaire des ions est uniforme dans l'enceinte $(D).$

Calculer littéralement le rayon $R$ de leur trajectoire en fonction de $m$, $B$, $e$, et $U.$

4. L'élément zinc contient deux isotopes de nombres de masse $A_{1}=68$ et $A_{2}=70\left(m_{1}=68\,u\text{ et }m_{2}=70\,u\right)$

On souhaite recueillir en $O$ les deux isotopes.

4.1. Calculer littéralement la distance $l=T_{2}O$

4.2. En déduire les valeurs numériques de $l_{1}$ et $l_{2}$ correspondant respectivement aux ions et $68_{z\pi^{2+l}}$ et $70_{zn^{2+l}}$

4.3. Évaluer la largeur maximale de la fente du collecteur

Exercice 4

Un accélérateur de particules de type cyclotron est constitué par deux hémi cylindres $D_{1}$ et $D_{2}$ appelés "dees", séparés par une distance l très petite devant leur diamètre.

Au centre $S$ du dispositif, une source $S$ émet des particules chargées de masse $m$ et de charge $q$ dont la vitesse initiale est pratiquement nulle.

Un électroaimant crée à l'intérieur de $D_{1}$ et $D_{2}$, perpendiculairement à leur base, un champ magnétique uniforme et constant $B$

On applique entre $D_{1}$ et $D_{2}$ une différence de potentiel alternative $U=\left(V_{1}-V_{2}\right)$ dont la fréquence de variation est telle qu'une particule chargée soit accélérée à chacun de ses passages d'un "dee" à l'autre.

(on considérera que le champ électrique est nul à l'intérieur des deux dees.

On fait le vide à l'intérieur de l'appareil.

1. Avec quelle vitesse $v_{1}$, la particule pénètre-t-elle en $A_{1}$ pour la première fois dans $D_{1}$

2. Montrer que la particule décrit alors un demi-cercle de centre $O_{1}$, de rayon $R_{1}$ que l'on calculera.

Calculer le temps de transit $t$ de la particule dans $D_{1}$

Montrer qu'il est indépendant de $v_{1}$

3. Étudier le mouvement de la particule à la sortie de $D_{1}$

Avec quelle vitesse $v_{2}$ pénètre-t-elle dans $D_{2}$

4. Soit $V_{2k+1}$ la vitesse avec laquelle la particule pénètre dans $D_{1}$ après $k$ tours.
 
4.1. Calculer et $V_{2k+1}$ et $R_{2k+1}$

4.2. Calculer la durée de franchissement de l'intervalle entre $D_{1}$ et $D_{2}$ (temps de vol).

Comparer cette valeur à $t$

5. Calculer la fréquence de la tension accélératrice $U$ encore appelée fréquence cyclotron.

6. Calculer l'énergie cinétique maximale que l'on peut donner à la particule en fonction du rayon maximal $R_{M}$ des trajectoires dans les dees.

Quelle est la relation entre le nombre $k_{M}$ de tours effectués et la tension $U$ ?

$A.N\ :\ m=1.67\cdot 10^{-27}kg$ ;

$q=+\mathrm{e}$ ;

$B=0.750\,T$ ;

$U=12.0\,kV$ ;

$1=1\,cm$ ;

$R_{M}+0.50\,m$

Exercice 5

Analyse de toxiques

Afin de déterminer si un patient a consommé de la codéine, de l'héroïne ou de la morphine, des échantillons moléculaires, prélevés sur ce patient, sont confiés pour analyse à un laboratoire spécialisé.

C'est par des techniques physiques que cette analyse va être réalisée.

Le laboratoire utilise deux dispositifs basés sur l'étude des mouvements de particules chargées soumises à des forces électriques et (ou) magnétiques, dans un vide très poussé.

Dans tout l'exercice on négligera le poids des particules devant les autres forces qui interviennent.

A : Première analyse : mesure d'un « temps de vol ».

Dans la zone $I$, les molécules $X$ à analyser vont être ionisées par bombardement électronique et donner des ions $X^{+}$ de charge : $\mathrm{e}=1.60\cdot 10^{-19}C$

Dans la zone $II$, de longueur d, entre les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$ planes et parallèles, on applique une tension accélératrice : $U=25.0\,kV.$

Dans la zone $III$, de longueur : $l=O_{2}O_{3}=1.50\m$, seul le poids des particules agit sur elles.

1. Étude des mouvements successifs.

Soit un ion $X^{+}$, de masse m, pénétrant dans la zone $II$ en $O_{1}$, selon l'axe $O_{1}x$, avec une vitesse considérée comme nulle.

Exprimer littéralement, en fonction de $U$, $m$ et $\mathrm{e}$, la vitesse de passage de cet ion en $O_{2}$

2.1. Quelle est la nature du mouvement de l'ion dans la zone $III$ ?

2.2. Exprimer littéralement la durée $\Delta t$ de ce mouvement entre $O_{2}$ et $O_{3}$, en fonction de $U$, $m$, $\mathrm{e}$ et $l$

2.3. La mesure de cette durée a donné la valeur : $\Delta t=11.5\cdot 10^{-6}$

Déduire de cette valeur la masse de l'ion $X^{+}$ et la nature probable de la substance $X$

On donne : Nombre d'Avogadro : $N=6.02\cdot 10^{23}mol^{-1}$

Masses molaires moléculaires : morphine : $285\,g\cdot mol^{-1}$ ;

codéine : $299\,g\cdot mol^{-1}$ ;

héroïne : $369\,g\cdot mol^{-1}$

B: Deuxième analyse : utilisation d'un spectrographe de masse.

Sur le schéma ci-dessous, on retrouve la même zone $I$ d'ionisation fournissant les ions $X^{+}$

On a ensuite la zone $II$ où on applique une tension accélératrice : $U'=8.00\,kV$ entre les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$ permettant de donner aux ions $X^{+}$ une vitesse $v'.$

Dans la zone $III$ un dispositif de filtrage permet d'éliminer les éventuelles particules parasites qui auraient pu être obtenues par fragmentation des molécules $X$ lors de l'ionisation par choc électronique.

Enfin dans la zone $IV$ existe un champ magnétique de direction orthogonale au plan de figure et de norme : $B=1.80\,T$

L'ion $X^{+}$, animé de la vitesse $v'$ pénètre en $O_{3}$ dans cette zone suivant l'axe $O_{3}x$

1. Rappeler l'expression de la force magnétique s'exerçant sur l'ion $X^{+}$

Représenter sur un schéma le vecteur force pour que la déviation à partir de $O_{3}$ se fasse du côté positif de l'axe $O_{3}y$

En déduire le sens du vecteur champ magnétique.

2. Démontrer que le mouvement de l'ion $X^{+}$ dans la zone $IV$ est plan et uniforme.

3. Montrer que l'ion $X^{+}$ décrit dans cette zone un arc de cercle, dont on établira l'expression littérale du rayon en fonction de $m$, $\mathrm{e}$, $v'$ et $B.$

4. Exprimer le rayon du cercle trajectoire en fonction de $U'$, $m$, $e$ et $B.$

5. L'ion $X^{+}$ est recueilli au point $A$ tel que : $O_{3}A=0.242\,m$

Trouver la masse de l'ion $X^{1}$ et identifier la substance $X$