Oscillations électriques libres et forces

Exercice 1

Décharge d'une bobine dans un condensateur

Un générateur idéal de courant constant, débitant une intensité

$I_{0}=225\,mA$, est connecté à un condensateur de capacité $C=175\,nF$ et à une bobine d'inductance

$L=42.2\,mH$ et de résistance négligeable.

A un instant, qu'on prendra comme origine des dates, on ouvre l'interrupteur $K.$

1. Quelle est, à l'instant de date $t=0$, la tension $u_{C}=(O)$ aux bornes du condensateur.

Justifier.

2. Quelle est, à cet instant, l'intensité $i(0)$ du courant dans la bobine. 

Justifier.

3. Établir l'équation différentielle traduisant l'évolution de la tension $u_{C}(O)$ aux bornes du condensateur.

4. Donner la solution de cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales particulières de cet exercice.

5. Quelle valeur maximale $U_{CO}$ atteint la tension $u_{C}t$ aux bornes du condensateur ?

En déduire la valeur maximale $Q_{0}$ de la charge du condensateur.

6. Quelle est l'énergie $E_{0}(O)$ initialement stockée dans la bobine ?

7. En faisant un bilan énergétique, retrouver la valeur maximale $U_{C0}$ atteinte par la tension  $u_{C}(t)$ aux bornes du condensateur.

8. A partir du résultat de la question $4.$, exprimer l'intensité du courant $i(t)$ et la charge $q(t)$ du condensateur au cours du temps.

9. Représenter l'allure de l'évolution de l'état du circuit $LC$ dans un diagramme des phases : $q(t)$ en abscisses $(1\,cm\text{ pour }5\mu C)$  et $i(t)$ en ordonnées $(1\,cm\text{ pour }100\,mA)$

Indiquer le point représentant l'état initial du circuit et le sens de parcourt du point d'état

Exercice 2 

$\text{dipole }(R\;,\text{dipole }(R\;,L\;,C)$

On a chargé un condensateur de capacité $C=1.00\mu F$ sous une tension constante $U_{o}=10.0\,V$, par l'intermédiaire d'un résistor de résistance : $R=100\,\Omega$ 

On le branche ensuite aux bornes d'une bobine pure d'inductance : $L=10.0\,mH$ (voir Figure ci-contre). 

On cherche à étudier les variations de la charge  $q=(t)$ de l'armature $A$ du condensateur et celles du courant $i(t)$ dans le circuit de décharge. 

Les sens conventionnels positifs des courants sont donnés sur le schéma.

A. Charge du condensateur. 

1.1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction $q(t)$ au cours de la charge du condensateur.

1.2. Quelle est l'expression, et la valeur numérique, de la constante de temps du dipôle $(R\;,C)$ ?
 
1.3. Quelle est la durée de la charge du condensateur $C$ ?
 
B. Décharge du condensateur. 

2. Donner les expressions littérales des énergies électrique, $E_{e}(t)$, et magnétique, $E_{m}(t)$, stockées dans les dipôles à l'instant $t$, au cours de la décharge du condensateur.
 
3. Donner les expressions littérales, en fonction des données, de la charge maximale du condensateur $Q_{m}$ et de l'intensité maximale $I_{m}$ du courant circulant dans le circuit de décharge.
 
Faire l'application numérique.
 
4. A l'instant $t=0$, date du début de l'acquisition des données au cours de la décharge, l'énergie électrostatique est égale à l'énergie magnétique. 

On note qu'à cet instant, la charge $q_{0}$ de l'armature 

A du condensateur est positive et que la valeur de l'intensité $i_{0}$ du courant de décharge est négative. 

Exprimer les valeurs littérales de la charge initiale $q_{0}$ du condensateur et de l'intensité initiale $i_{0}$ en fonction, respectivement, de $Q_{m}$ et de $I_{m}.$

Faire l'application numérique. 
 
5. À partir d'arguments énergétiques, établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction $q(t)$ au cours de la décharge du condensateur.

$$q(t)-A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_{o}}t+\phi\right)$ où : $T_{o}-2\pi\sqrt{LC}$$

6. La solution de cette équation différentielle est du type : 

6.1. Donner l'expression littérale de la fonction $id(t)$

6.2. Déterminer les valeurs numériques de $A$ et de $\phi$

6.3. Tracer le graphe de la fonction $q(t)$, en précisant les coordonnées de ses points remarquables

Exercice 3     

Énergie emmagasinée dans un condensateur

On considère le circuit suivant : $E=10\,V$

$L=100\,mH$

Pour charger le condensateur on bascule l'interrupteur en position $1.$

1. A un instant $t=0$ pris comme origine des dates, on bascule l'interrupteur en position $2.$

On étudie les oscillations libres qui prennent naissance dans le circuit.

Pourquoi parle-t-on d'oscillations libres à partir de cet instant ?

2. On suppose, dans cette question, que r$r=0$

2.1. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_{C}(t)$

2.2. En déduire le bilan énergétique du circuit faisant intervenir l'énergie $E_{C}$ emmagasinée dans le condensateur et l'énergie $E_{L}$ emmagasinée dans la bobine.

2.3. Interpréter ce bilan et représenter qualitativement sur une même figure l'allure de $E_{C}(t)$ et $E_{L}(t)$ emmagasinée dans la bobine.

3. Le document suivant donne l'évolution de l'énergie $E_{C}(t)$ emmagasinée dans le condensateur au cours du temps.

3.1. Que peut-on dire de l'évolution de $E_{C}(t)$

Comparer avec le cas de la question $.3.$

3.2. A quel type d'oscillations libres a-t-on affaire ?

3.3. Expliquer, sans calcul, comment il faut modifier le bilan d'énergie établie à la question $2.2$
 
3.4. Exprimer en fonction de la capacité $C$, l'énergie $E_{C}(O)$ emmagasinée dans le condensateur à la date $t=0$

3.5. En utilisant la courbe $E_{C}(t)$, déduire la valeur de $C.$

4. On s'intéresse maintenant à la courbe de $u_{C}(t)$

4.1. Calculer la pseudo-période $T$ des oscillations.

4.2. Indiquer alors de la courbe $(A)$, $(B)$ ou $(C)$, celle qui représente effectivement $u_{C}(t)$

Exercice 4

Soit un générateur de courant alternatif de fréquence négligeable. 

La tension efficace $U_{\text{eff}}$ aux bornes de ce générateur est maintenue constante et égale à $100$ volts dans tout l'exercice.

1- Une bobine de résistance négligeable et d'inductance $L$ est disposée aux bornes du générateur. 

Pour une fréquence de $5\,KHz$ et une valeur de $L_{0}=20\,mH$ de l'inductance, la bobine est parcourue par un courant i variable.

1.1. Calculer l'intensité efficace $I_{\text{eff}}$
 
1.2. Comment varie cette intensité avec la fréquence quand on maintient l'inductance égale à $L_{0}$ ?

2. Pour la suite de l'exercice, on maintient la fréquence fixe à $5\;,KHz$ 

On met la bobine précédente en série avec un condensateur de capacité $C=8\cdot 10^{-8}F$ et une résistance pure $R=236\Omega$

2.1. Calculer l'impédance du circuit et en déduire l'intensité efficace $I_{\text{eff}}$ qui parcourt le circuit.

2.2. Calculer le déphasage entre l'intensité instantanée et la tension aux bornes du circuit.

2.3. Tracer la courbe de variation de l'intensité efficace en fonction de $L$ et la commenter.

3.1. Déterminer la valeur $L_{1}$ de l'inductance qui correspond au maximum de l'intensité.

3.2. Calculer ce courant ainsi que les tensions efficaces aux bornes de l'inductance $U_{L}$, du condensateur $U_{C}$ et de la résistance $U_{R}$

3.3. Faire la construction de Fresnel à la résonance

Exercice 5

Un circuit $(r\;,L\;,C)$ est constitué d'une bobine d'inductance $L=5\,mH$ et de résistance $r=4\Omega$ montée avec un condensateur de capacité $C=1\mu F$ 

Un générateur délivre une tension constante $E=6\,V$ (voir figure ci-dessous).

1. En mettant l'interrupteur (commutateur) sur la position $1$, le condensateur se charge. 

A la fin de la charge, déterminer :

1.1. La tension $U_{AB}$ aux bornes du condensateur.

1.2. La charge $Q$ du condensateur.

1.3. L'énergie emmagasinée dans le condensateur.
Application numérique

2. A $t=O s$, on bascule l'interrupteur sur la position $2.$

2.1. Justifier le sens du courant électrique $i(t)$ dans le circuit.

En déduire l'expression de $i(t)$ en fonction de la charge $q(t)$ du condensateur à un instant $t$ quelconque.

2.2 Exprimer la tension $u_{C}=u$ aux bornes du condensateur et la tension $u_{Lr}$ aux bornes de la bobine.

2.3. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par $u(t)$ est de la forme : $\dfrac{d^{2}u}{dt^{2}}+2\dfrac{du}{dt}+_{o}^{2}u=0$

Déterminer les constantes $\lambda$ et $\Omega_{o}$

3. 1. En posant $u(t)=Ae^{-\alpha t}$ donner l'expression de l'équation caractéristique.

Discuter sur les différents cas possibles.

3.2. Montrer qu'on a un régime oscillatoire amorti.

4. La solution de l'équation différentielle est de la forme : $\dfrac{du}{dt}$ et $\dfrac{^{2}u}{dt^{2}}$

4.1. Calculer les dérivées  et

4.2. En utilisant l'équation différentielle donnée au 2.3, déterminer les constantes $U_{o}$, $\tau$ et $\Omega$

Que représentent ces constantes ?

4.3. Donner les expressions numériques de $u(t)$, $q(t)$ et $i(t)$

4.4. Donner l'allure de la courbe donnant la tension $u(t)$

Exercice 6

Un groupe d'élèves dispose de trois $3)$ dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ dans des boîtiers.

Il souhaite déterminer la nature et les caractéristiques de chacun de ces dipôles.

Chaque dipôle peut être un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité C ou une bobine d'inductance $L$ dont on négligera la résistance.

1. Détermination de la nature des dipôles

On réalise le montage suivant (Figure) 

$G$ : générateur de tension continue

$R_{P}$ : résistance de protection

$LT$ : lampe témoin

On branche successivement entre $X$ et $y$ les dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$

On note les observations suivantes (interrupteur $K$ fermé) :

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Dipôl e}&\text{Observateurs }\\ \hline D_{1}&\text{La lampe s’allume avec un léger retard par rapport à l’instant de fermeture du circuit.}\\ \hline D_{2}&\text{La lampe ne s’allume pas.}\\
\hline D_{3}&\text{La lampe s’allume instantanément}\\ \hline \end{array}$

Déduire de ces observations la nature des dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$

Justifier les réponses.

2. Détermination des caractéristiques des dipôles

On réalise le deuxième montage indiqué ci-dessous (Figure) :

$G_{1}$ est un générateur qui délivre une tension sinusoïdale d'expression :  

$u(t)=10\sqrt{2}\cos\left(100\pi t\right)$
Un ampèremètre mesure l'intensité $I$ du courant dans le circuit

On branche successivement les dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ entre $A$ et $B$

 Les résultats des mesures sont consignés dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Dipôle}&D_{1}&D_{2}&D_{3}\\ \hline I(mA)&63&6.3&10\\ \hline
\end{array}$$

Déterminer les caractéristiques des dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$

3. Visualisation de $u(t)$ et $i(t)$ à l'oscilloscope

On retire l'ampèremètre du circuit et on associe en série entre $A$ et $B$ un conducteur ohmique de résistance 

$R=1000\,Om
$, un conducteur de capacité $C=2\mu F$ et une bobine d'inductance $L=05\,H$ et de résistance négligeable. 

A l'aide d'un oscilloscope bicourbe, on désire visualiser l'allure des variations de la tension $(\tau)$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$ sur la voie $y_{1}$ et les variations de la tension instantanée $u(t)$ aux bornes du générateur sur la voie $y_{2}$

3.1. Faire le schéma du montage.

3. 2. Donner l'expression de l'impédance $Z$ du circuit en fonction de $R$, $C$, $L$ et $\Omega$
3.3. Calculer la valeur de $Z$

3.4. Calculer l'intensité $I$ du courant dans le circuit.

3.5. Déterminer la phase $\Omega_{u/i}$ de la tension  $u(t)$ par rapport à l'intensité $i(t)$ 

3.6. En déduire la nature du circuit.

3.7. Donner l'expression de l'intensité $i(t)$

Exercice 7

Au cours d'une journée dénommée « la journée de la physique », un groupe d'élèves se propose de déterminer par deux méthodes différentes, les caractéristiques d'une bobine de résistance $r$ et d'inductance $L$ et d'observer le phénomène de la résonance d'intensité du courant électrique. 

Le groupe dispose en plus de la bobine, du matériel suivant :

$-\ $un conducteur ohmique de résistance $R=20\Omega$ ;

$-\ $un voltmètre de grande impédance ; 

$-\ $un générateur délivrant une tension alternative

sinusoïdale de fréquence ; $f=50\,Hz$

$-\ $un oscilloscope bicourbe ; 

$-\ $des fils de connexion.

1. Première méthode Figure 1

Les élèves réalisent le montage schématisé ci-dessus.

À l'aide d'un voltmètre de grande impédance, ils mesurent les tensions $U_{AM}$, $U_{BA}$, $U_{BM}$

Ils obtiennent les résultats suivants 

$U_{AM}=1.41\,V$ ; 

$U_{BA}+2.06\,V$ et 

$U_{BM}=2.83\,V$

1.1. Déterminer la valeur efficace $I$ de l'intensité du courant électrique qui traverse le circuit.

1.2. Représenter le diagramme de Fresnel à partir des tensions $U_{AM}$, $U_{BM}$, $U_{BM}$, l'origine des phases étant celle de l'intensité du courant dans le circuit. 

Échelle : $5\,cm$ pour $1\,V$

1.3. Déterminer à partir du diagramme de Fresnel :

1.3. La résistance $r$ de la bobine ; 

1.3.2. L'inductance $L$ de la bobine

2. Deuxième méthode

Les élèves visualisent à l'oscilloscope la tension $U_{BM}$ sur la voie $1$ et la tension $U_{AM}$ sur la voie $2$

L’oscillogramme obtenu est représenté sur la figure

 
Sensibilité verticale : voie $1$ : $1\,V/div$ ; voie $2$ : $1\,Vdiv$

Sensibilité horizontale : $2.5\,ms/div$

2.1. Reproduire la figure $1$ et représenter les branchements effectués à l'oscilloscope.

2.2. Indiquer la courbe représentant les variations de la tension $u_{AM}$ et justifier la réponse.

2.3. Déterminer à partir de la figure $2$

2.3.1 la fréquence de la tension délivrée par le générateur 

2.3.2 la valeur maximale $U_{AM}{\text{max}}$

de la tension aux bornes du conducteur ohmique $R$

2.3.3. La valeur maximale $I_{\text{max}}$ de l'intensité du courant qui traverse le circuit électrique ;

2.3.4. La valeur de la phase $\Omega_{u/i}$ de la tension u$u(t)$ aux bornes du générateur par rapport à l'intensité $i(t)$ qui traverse le circuit.

2.4. Déterminer :

2.4.1. La résistance interne $r$ de la bobine ;

2.4.2. L'inductance $L$ de la bobine.

3. La résonance d'intensité

Pour la suite on prendra : $r=8.3\Omega$ et $L=9\cdot 10^{-2}H$

Pour observer le phénomène de la résonance d'intensité, le groupe d'élèves insère en série, dans le montage précédent, un condensateur.

La tension délivrée par le générateur est   $u=2.83\cos\left(100\pi t\right)$

Déterminer :

3.1 La valeur de la capacité $C$ du condensateur ;

3.2 La valeur efficace $I$ de l'intensité du courant dans le circuit

Exercice 8 

Amélioration du facteur de puissance   

1. Un appareil électroménager est assimilable à une bobine d'inductance $L$ et de résistance $R.$ Lorsqu'il est branché au secteur $\left(u=220\gamma 2\cos 100\pi t\right)$, l'intensité efficace du courant qui le traverse vaut $I_{1}=2\,A$

La puissance moyenne consommée vaut alors  $P_{m}=220\,W$

1.1. Déterminer sa puissance apparente, son facteur de puissance $\cos\theta 1$ et l'expression de l'intensité instantanée $i_{1}$ dans le circuit.

1.2. En déduire les valeurs de $L$ et $R.$

2. La législation impose un facteur de puissance au moins égal à $0.8$ sous peine de sanction.

Ainsi afin de porter le facteur de puissance à $\cos\theta_{2}=0.9$ on insère en série un condensateur de capacité $C$

2.1. Quelles sont les deux valeurs possibles de $C.$

2.2.  Déterminer la valeur de l'intensité efficace $I_{2}$ du courant dans le circuit.

2.3.  Quelle est la nouvelle puissance moyenne consommée dans le circuit ?

2.4. Quelle résistance $R'$ insérée à la place du condensateur donnerait le même facteur de puissance $\cos\theta_{2}$ ? 

Quel est l'inconvénient de cette deuxième méthode

Exercice 9

Un dipôle $AB$ est constitué par l'association en série d'un résistor, d'un condensateur de capacité $C$ et d'une bobine purement inductive d'inductance $L.$
 
On désigne par $R$ la résistance totale du circuit. 

On applique aux bornes du dipôle $AB$ une tension $u_{AB}=U_{m}\sin \omega\tau$ de valeur efficace $U$, constante mais de pulsation $\Omega$ réglable. 

Un wattmètre mesure la puissance électrique moyenne $P$ reçue par le dipôle.

1. Démontrer que lorsque l'on règle $\Omega=\Omega_{0}$ pour obtenir les conditions de résonance d'intensité pour ce dipôle, on mesure une valeur maximale $P o$ pour la puissance moyenne. 

1.1. Exprimer $P_{0}$ en fonction de $U$ et de $R.$

1.2. En déduire l'expression de l'énergie électrique $E o$ reçue par le dipôle pendant une période, en fonction de $U$, $R$ et $\Omega_{0}$

2. Dans les conditions de résonance, exprimer en fonction du temps l'énergie totale $E_{t}$ emmagasinée dans le dipôle, sous forme magnétique $E_{L}$ dans la bobine et sous forme électrique $E_{C}$ dans le condensateur..

2.1. Montrer que $E_{t}$ reste constante. 

2.2. Dans ces conditions, exprimer cette énergie totale en fonction de $L$, $U$ et $R$
 
2.3. Que devient donc à chaque instant l'énergie électrique reçue par le dipôle ?

3. Exprimer le rapport $\dfrac{E_{t}}{E_{o}}$ en fonction du facteur de surtension $Q$ du circuit

Exercice 10

Un oscillateur $RCL$ série comprenant un résistor de résistance ,$R=50\Omega$ un condensateur de capacité 

$C=1\mu F$ et une bobine d'inductance $L$ réglable et de résistance négligeable est alimenté par un générateur délivrant une tension sinusoïdale : u(t)=10 sin (100 πt) $u(t)=10\sin\left(1
00\pi t\right)$

1. Établir l'équation différentielle régissant les oscillations du courant circulant dans le circuit $RCL$ série.

2. Sachant qu'en régime permanent, l'intensité du courant s'écrit : $i(t)=Im\sin\left(10\pi t+\theta\right)$ 

2.1. Déterminer la valeur $L_{0}$ de l'inductance de la bobine donnant une résonance d'intensité,
 
2.2. Montrer que si l'on ferme le circuit en maintenant L égale à $L_{0}$, il se produit un phénomène de surtension aux bornes du condensateur. 

3. Sachant que la valeur de la tension de rupture sérigraphiée sur le boîtier du condensateur utilisé est $U_{0}=100\,V$, déterminer la valeur de l'inductance $L$ de la bobine à ne pas dépasser pour éviter tout risque de claquage du condensateur. 

Exercice 11

On réalise le montage électrique schématisé à la figure ci-dessous

ll comporte :

$-\ $deux dipôles $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ dont l'un peut être un condensateur de capacité $C$, alors que l'autre peut être une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ ou bien un résistor de résistance $r$  ;

$-\ $un générateur de force électromotrice ($(f.é.m)$ $E$ et de résistance interne nulle ; 

$-\ $un résistor de résistance $R=60\Omega$

$-\ $deux ampèremètres $\left(A_{1}\right)$ et $\left(A_{2}\right)$

$-\ $un vol-mètre $(V)$

$-\ $trois interrupteurs $(k)$, $\left(k_{1}\right)$ et $\left(k_{2}\right)$

1. Le condensateur ne portant initialement aucune charge électrique, on ferme les interrupteurs $\left(k_{1}\right)$ et $\left(k_{2}\right)$ puis $(k).$

En régime permanent, le voltmètre indique une tension $U=2.5\,V$, l'ampèremètre $\left(A_{1}\right)$ indique un courant nul tandis que l'ampèremètre $\left(A_{2}\right)$ indique un courant d'intensité  $I=0.125\,A$

1.1. Montrer que :

1.1.1. Le dipôle $\left(D_{1}\right)$ est le condensateur de capacité $C.$

1.1.2. On ne peut pas trancher quant à la nature exacte du dipôle $\left(D_{2}\right)$ et calculer la valeur de $r$

1.2. Déterminer la valeur de la $f.é.m$ $E$ du générateur. 

2. On ouvre les trois interrupteurs et on décharge complètement le condensateur. 

Puis, on ferme $\left(K_{1}\right)$ et on maintient $\left(k_{2}\right)$ ouvert. 

Par la suite, on ferme l'interrupteur $(k).$

Le régime permanent s'établit pratiquement au bout d'une durée $\theta=0.3\,ms.$

2.1. Expliquer le phénomène qui se produit au niveau du condensateur $\left(D_{1}\right)$ à la fermeture de l'interrupteur $(k)$

2.2. Donner l'allure de l'oscillogramme observé sur l'écran d'un oscilloscope à mémoire branché entre $P$ et $Q.$
 
3- Sachant que la durée $\theta$ vaut $5$ fois la valeur de la constante de temps $\tau=RC$ calculer la valeur de la capacité $C$ du condensateur

Le condensateur étant chargé et $k_{1}$ toujours fermé, on ouvre $k$ et on ferme $k_{2}.$

L'évolution de la tension $u_{PQ}=uc$ observée sur l'écran de l'oscilloscope est représentée par l'oscillogramme de la figure ci-contre.

Préciser le régime des oscillations électriques établies dans le circuit.

Établir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension $uc$
 
3. En se référant à l'oscillogramme :

3.1. Donner la valeur de la pseudo-période $T$ des oscillations électriques. 

3.2. Vérifier que le rapport entre deux extremums positifs consécutifs de la tension $uc$ est sensiblement égal à une constante $\lambda$ (se limiter aux quatre premiers extremums).
 
4. On désigne par $En$ et $(n+1)$ l'énergie électromagnétique de l'oscillateur électrique aux instants respectifs $nT$ et $(n+1)T$ $(n\text{ est un entier positif)$

4.2. L'énergie emmagasinée dans le circuit à l'instant où la tension $uc$ est maximale est électrostatique. 

Pourquoi ? 
4.2. Établir l'expression du rapport $(n+1)$ En en fonction de $\lambda$

4.3. Déterminer $L$ sachant que $(n+1)/\text{ En }=\dfrac{-rT}{L}$

Exercice 12

Étude d'un circuit oscillant $LC$

On réalise le montage électrique représenté dans la figure $1$, formé de : 

$-\ $Un générateur $G$ idéal de tension de force électromotrice $E=12\,V$ ;

$-\ $Deux condensateurs$\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$ de capacités respectives $C_{1}=3\mu F$ et $C_{2}=0.5\,C_{1}$ ; 

$-\ $Une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable.

1. On place l'interrupteur $K$ dans la position $(1)$, alors les deux condensateurs se chargent instantanément.

Soit $U_{1}$ la tension aux bornes du condensateur $\left(C_{1}\right)$ et $U_{2}$ la tension aux bornes du condensateur $\left(C_{2}\right)$

1.1. Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$

1.2. Soit $E_{1}$ l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur  $\left(C_{1}\right)$ et $E_{2}$ l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur $\left(C_{2}\right)$

Montrer que $E_{1}=2E_{1}$

2. On bascule à l'instant $t=0$ l'interrupteur $K$ dans la position $(2)$, alors les deux condensateurs se déchargent à travers la bobine 

La figure  représente l'évolution temporelle de l'énergie magnétique $E_{m}$ emmagasinée dans la bobine

2.1. Montrer que la tension $uc$ que vérifie la tension aux bornes du condensateur équivalent aux condensateurs $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$ s'écrit sous la forme :
$$\dfrac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}}+\dfrac{3}{LC_{1}}u_{c}=0$$

2.2. Trouver l'expression de la période propre $T_{0}$ en fonction $L$ et $C_{1}$pour que la solution de l'équation différentielle soit : 
$uc(t)=E\cos\left(\dfrac{t}{t_{0}}\right)+\varphi$

En déduire la valeur de L en prenant $\pi^{2}=10$

2.3. Montrer que l'énergie totale $E_{T}$ emmagasinée dans le circuit reste constante au cours du temps. 

Déterminer à l'aide du graphe (fig) la valeur de l'énergie emmagasinée dans le condensateur équivalent à l'instant $t=2\,ms$

Exercice 13 

Étude du dipôle RLC

On obtient un dipôle $AB$ en montant en série une bobine d'inductance $LH=0.32$ de résistance négligeable, un condensateur de capacité $C=5.0\mu F$ et un conducteur ohmique de résistance $R$
 
On applique entre les bornes du dipôle $AB$ une tension alternative sinusoïdale de fréquence $N$ réglable : $u(t)=30\sqrt{2}\cos\left(2\pi Nt+\varphi\right)$ ; il passe alors dans le circuit un courant d'intensité $i(t)I\sqrt{2}\cos\left(2N\pi t\right)$

Avec $u(t)$ en Volt et $i(t)$ en Ampère 

$-\ $Pour une valeur

$N_{0}$ de la fréquence $N$, $\left(N_{1}>N_{0}\right)$ L'intensité efficace du courant prend une valeur maximale $I=0.3\,A$ et la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle $AB$ prend la valeur $P_{o}$

$-\ $Pour une valeur 

$N_{1}$ de la fréquence $N$, $\left(N_{1}>N_{o}\right)$ l'intensité efficace du courant prend la valeur $I=\dfrac{I_{0}}{\sqrt{2}}$ et la phase prend la valeur $\varphi=\pi/4$

On note $P$ la puissance électrique moyenne consommée par le dipôle $AB$ aux limites de la bande passante par $P$ et à l'extérieur de la bande passante par $P_{\text{ext}}$

1. Calculer la valeur de $R$

2. Calculer la valeur de $N_{o}$
 
3. Comparer $P$ avec $P_{o}$ ; Conclure.

4. Comparer $P_{\text{ext}}$ avec $P$ ; Conclure

Exercice 14

On établit une tension alternative sinusoïdale de pulsation $\omega$ entre les bornes $M$ et $N$ d'une portion de circuit comprenant un condensateur de capacité C et une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$

L'intensité efficace étant $I=0.20\,A$, la mesure des tensions efficaces fournit les résultats suivants :

$U_{MN}=120\,V$, $U_{MP}=160\,V$ et $U_{PN}=56\,V$

($P$ : point de connexion de la bobine au condensateur).

1. Calculer les impédances de la bobine et du condensateur ainsi que la résistance $r$ de la bobine.

2. Calculer le déphasage de la tension $u_{MN}$ par rapport à l'intensité $i$ du courant.

3. Sachant qu'un courant de pulsation $\omega=250\,rad\cdot s^{-1}$ parcourant le circuit serait en phase avec la tension $u_{MN}$, déterminer :

3.1. Les valeurs de l'inductance et de la capacité,

3.4. La pulsation $\omega$ et la fréquence $N$ correspondante,

3.3. La puissance moyenne consommée dans le circuit.

4. Montrer que l'intensité efficace du courant reprendra la valeur $I=0.20\,A$ pour une deuxième pulsation $\omega'$ que l'on calculera.

5. Comparer les puissances moyennes consommées dans le circuit aux pulsations $\omega$, $\omega$ $o$  et $\omega'$

Exercice 15

On considère un circuit comportant, en série, un résistor de résistance $R$, une bobine d'inductance $L$ et un condensateur de capacité $C$

Ce circuit est alimenté par un générateur $BF$ délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace $U$ et de pulsation $\omega$ réglable.

Un ampèremètre de résistance négligeable permet de mesurer l'intensité efficace $I$ du courant dans le circuit.

1. Pour une pulsation $\omega$ donnée, utiliser la construction de Fresnel pour exprimer l'impédance du circuit et le déphasage en fonction de $\omega$, $R$, $L$ et $C.$

2. $U$ étant constante, on fait varier ω et on relève l'intensité efficace $I$ pour chaque valeur de $\omega$

2.1. Donner l'allure générale de la courbe représentant $I=f(\Omega)$

Quel phénomène cette courbe met-elle en évidence ?

2.2. Soit $\omega_{0}$ la valeur de la pulsation pour laquelle le phénomène précédent se produit.

La pulsation $\Omega_{o}$ dépend-elle de $R$, $L$ et $C$ ?

Donner l'expression de $\Omega_{o}$ en fonction de deux de ces trois grandeurs.

2.3. Que deviennent l'impédance $Z$ et le déphasage pour $\Omega=\Omega_{0}$? 

Exercice 16

On dispose d'un condensateur sur lequel le fabricant fournit les indications suivantes : 

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Références }&EFD-CPM13B\\ \hline \text{Capacité }&1.2MF\\ \hline
\text{Tolérence }&10\%\\ \hline\text{Tension maximale}&160\,V\\ \hline \end{array}$

On se propose de faire une recherche de la valeur réelle de la capacité $C.$ 

Pour ce, on réalise un circuit série constitué d'un $GBF$ délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace $U=2\,V$, d'un résistor de résistance $R=10\Omega$, d'une bobine d'inductance $L=58\:,mH$ et de résistance $r$ et du condensateur à étudier. 

Puis, on y insère un voltmètre et un ampèremètre.
 
1. Schématiser le montage à réaliser de telle sorte que l'on puisse :

$-\ $vérifier que la tension efficace à la sortie du $GBF$ soit maintenue constante et égale à $2\,V$,
 
$-\ $mesurer l'intensité efficace du courant dans le circuit $RCL$ série.

2. On va rechercher la résonance d'intensité en faisant varier la fréquence de la tension délivrée par le $GBF.$ 

Lors des mesures, on constate qu'à la fréquence  $N=610\,Hz$, l'intensité efficace prend sa valeur maximale $I=96.7\,mA$

2.1. Quelle est la valeur numérique de la fréquence propre du circuit ? Justifier la réponse.

2.2. Déduire de cette fréquence, la valeur de la capacité $C$ du condensateur.
 
Quelle indication aurait dû porter le fabricant à la place de $MF$ ? 

2.3. La valeur obtenue par cette méthode de mesure est-elle dans le domaine de tolérance donné par le constructeur ?
 
Exercice 17

Un circuit électrique comporte en série:

$-\ $un résistor de résistance  $R=740\Omega$,

$-\ $un condensateur de capacité $C$,

$-\ $une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r.$

L'ensemble est alimenté par un $GBF$ délivrant une tension sinusoïdale de fréquence $N$ réglable : 

$u(t)=\sin\left(2\pi Nt\right)$

Pour une fréquence $N_{o}$, la valeur de la tension efficace aux bornes du résistor est  $UR+9.6\,V$ et la tension instantanée aux bornes du condensateur est :

$uc(t)=U_{c}\sqrt{2}\sin\left(318\pi t-\dfrac{\text{\Signe}}{2}\right)$ où $U=36\,V$

1. Montrer que le circuit est en résonance d'intensité.

2. Déterminer:

$-\ $la valeur de l'intensité efficace $I_{o}$ du courant électrique circulant dans le circuit,

$-\ $les valeurs de $C$, $L$ et $r$,

$-\ $la valeur du coefficient de surtension $Q$ du circuit.

3. Montrer que $u$ et $uc$ vérifient à chaque instant la relation :
$$u_{c}^{2}=-Q^{2}u^{2}+2U_{c}^{2}$$

4. Établir l'expression de l'énergie électrique totale en fonction de $u$ et $u_{c}$ et montrer qu'elle se conserve
 
Exercice 18

On réalise un filtre passif avec un résistor de résistance $R=90\Omega$, une bobine d'inductance  $L=0.1\,H$ et de résistance $r=10\Omega$ et un condensateur de capacité $C=0.5\mu F$

L'ensemble est monté en série. 

La tension de sortie $u_{S}$ est la tension aux bornes du résistor. 

A l'entrée du filtre, on applique une tension $u_{E}$ sinusoïdale de pulsation $\Omega$ réglable et d'amplitude $U_{Em}$ fixe.

1.1 Schématiser le circuit et y indiquer le sens positif choisi pour le courant.

1.2. Par application de la loi des mailles, écrire la relation entre les tensions aux bornes de chacun des composants du circuit.

2.1. Établir par une construction de Fresnel, l'expression de l'impédance $Z$ du circuit. 

2.2. Quand dit-on qu'il y a résonance d'intensité? 

Donner l'expression de la fréquence $N_{o}$ correspondante pour qu'il en soit ainsi. 

La calculer. 

2.3. Calculer le facteur de surtension $Q_{o}$ à la résonance d'intensité.

3. Calculer la transmittance $T$ du filtre à la fréquence N égale à $2N_{o}$

4.1. Exprimer les fréquences de coupure $N_{1}$ et $N_{2}$ ainsi que la largeur $\Delta N$ de la bande passante du filtre en fonction de $Q_{o}$ et $N_{o}$

Calculer $N_{1}$, $N_{2}$ et $\delta N$

4.2. Calculer le facteur de qualité $Q$ et le comparer à $Q_{o}$

Exercice 19

On considère le circuit $RCL$ série schématisé ci-dessous. 

Il est alimenté par un générateur $BF$ délivrant à ses bornes une tension sinusoïdale de fréquence $N$ réglable de $5$ à $85\,MHz$ : $u_{E}=100\sqrt{2}\sin\left(2\pi Nt\right)$

On donne :$R=50\Omega$, $L=1\mu H$, $C=10\,pF $ 

1. On se propose de déterminer expérimentalement le type du filtre (passe bas, passe haut ou passe bande).

Le tableau suivant donne la valeur efficace $I$ de l'intensité du courant pour différentes valeurs de $N$

1.1. Reproduire le tableau et y ajouter une ligne pour le calcul de la valeur efficace $U_{s}$ de la tension de sortie $u_{S}$ aux bornes du résistor 

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|} \hline N(MHz)&5&20&50.3&70&85\\ \hline I(A)&0.032&0.149&2&0458&0.285\\
\hline \end{array}$

1.2. Tracer la courbe de réponse  $U_{S}=f(N).$

1.3. Décrire brièvement l'allure de la courbe tracée et conclure quant à la nature du filtre.
 
2. On se propose maintenant de voir comment un filtre permet la transmission du signal avec faible ou forte atténuation. 

Pour cela, on pense aux comportements des composants du circuit vis à vis de la fréquence $N.$

2.1. Comportement du condensateur 

2.1.1. Écrire l'expression l'impédance du condensateur en fonction $N$, $C$ et en déduire celle de la tension efficace $U_{c}$ entre ses bornes.

2.1.2. Compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline N(MHz)&5&20&50.3&70&85\\ \hline Z_{C}5\Omega)&3183&316&187&&\\
\hline U_{c}(V)&118.6&104&&&\\ \hline \end{array}$

2.1.3. Comment varie l'impédance $Z_{c}$ du condensateur lorsque $N$ augmente ?

2.1.4. Étudier le comportement du condensateur en régime sinusoïdal dans les deux cas limites de la fréquence : le cas où $N$ tend vers zéro et le cas ou $N$ tend vers l'infini.

2.2. Comportement de la bobine

2.2.1. Écrire l'expression de l'impédance $Z_{L}$ de la bobine en fonction de $L$ et $N$ et en déduire celle de la valeur efficace $U_{L}$ de la tension $u_{L}(t)$ aux bornes de la bobine.

2.2.2. Compléter le tableau qui suit : 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline N(MHz)&5&20&50.3&70&85\\ \hline Z(\Omega)&3152&671&218&350&\\
\hline U_{s}(V)&1.858&7.45&22.9&14.25&\\ \hline \end{array}$ 

2.3.3. Décrire brièvement les variations de la tension de sortie $u_{S}$ en fonction de $N$ et donner une interprétation en se basant sur l'impédance pour expliquer le principe de fonctionnement du filtre passe bande.

3. Déterminer la bande passante à $-3db$ du filtre 
Un montage électrique est formé par une association en série, d'un dipôle résistor de résistance $R$, d'une bobine purement inductive et d'un condensateur de capacité $C$

L'ensemble est alimenté par un générateur de tension alternative  $u_{G}(t)=U_{GMax}\sin(\gamma t)$ de fréquence $f$ réglable et qui maintient à ses bornes une tension efficace $U_{G}$ constante.
  
Un oscilloscope bicourbe convenablement branché permet de visualiser simultanément les tensions $u_{G}(t)$ et la tension $u_{C}(t)$ aux bornes du condensateur. 

1. Faire le schéma d'un montage qui permet de visualiser la tension $u_{G}(t)$ sur la voie $A$ et la tension $u_{c}(t)$ sur la voie$B$

On indiquera les branchements nécessaires sur le schéma.

2. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant $i(t)=I_{Max}\sin\left(\Omega t+\phi\right)$

3. Montrer que l'amplitude $I_{Max}$ est maximale pour une valeur particulière $\omega R$ de la pulsation $\omega e$ du générateur. 

Exprimer $\omega R$ en fonction de $L$ et $C$ Faire une construction de Fresnel sans souci d'échelle. 

4. On fixe la valeur de la fréquence du générateur à une valeur $f_{1}$

On observe sur l'oscilloscope les oscillogrammes $(A)$ et $(B)$ représentés sur la figure ci-après. Un ampèremètre branché en série dans le montage indique la valeur $I=\sqrt{2}\cdot 10^{-2}A$

4.1. Identifier les oscillogrammes $A$ et $B$

justifier clairement votre réponse.

4.2. Déterminer le déphasage $\Delta\phi=\phi(u)-\phi\left(u_{c}\right)$

4.3. En déduire le déphasage entre la tension $u_{G}(t)$ et l'intensité $i(t)$

5.1. Déterminer les expressions instantanées des tensions $u_{c}(t),u_{G}(t)$et de l'intensité $i(t)$

On prendra $f_{1}=125\,Hz$

5.2. Déterminer la valeur de la capacité $C$ du condensateur.

6. Calculer la puissance moyenne fournie par le générateur.

7. Faire une construction de Fresnel à l'échelle, relative aux tensions maximales aux bornes des dipôles du montage. 

En déduire les valeurs de $R$ et de $L$

Échelle : $1\,cm\longrightarrow\,1\,V$