Oscillations mécaniques

Exercice 1

Au cours d'une séance de travaux pratiques $(TP).$ , un professeur et ses élèves étudient le pendule élastique

Le dispositif est constitué d'un solide $(S)$ de masse $m=100\,g$ et d'un ressort à spires non jointives  de constante de raideur $m=20\,Nm^{-1}$

Le solide $(S)$ fixé à une des extrémités du ressort, peut se déplacer sans frottements le long d'un banc à coussin d'air suivant l'axe $xx'$

L'autre extrémité reste fixée à un support solidaire du banc (voir figure ci-dessous)

A l'équilibre du système (solide+ ressort), le centre d'inertie du solide $(S)$ coïncide avec l'origine du repère lié à la tige.

L'énergie potentielle du système est alors nulle
Un élève est choisi pour manipuler.

Il écarte le solide $(S)$ de sa position d'équilibre en comprimant.

L'abscisse de G est alors $x_{G}=-2.5\,cm$

Dans une nouvelle position, il lâche le solide sans vitesse initiale

La position du centre d'inertie  $G$ est repérée par son abscisse au cours du temps
On prendra comme origine  des dates le moment du lâcher  

1. Étude du mouvement

1.1. Sur un schéma, représenter les forces appliquées au solide, juste après lâcher

1.2. Écrire  l'équation différentielle qui régit ce type de mouvement

La solution de l'équation différentielle est de la forme : $x=X_{m}\sin^{\omega^{t+}}$

Détermination des grandeurs

1.3. Que représente $X_{m}$, $\omega_{0}$  et $\varphi$

1.4. Calculer les valeurs numériques de $X_{m}$, $\omega_{0}$ et $\varphi$

1.5. Vérifier que l'expression de la vitesse de $S$ est :

$v=-0.5\sin\left(20\,t+\pi\right)$

2. Étude énergétique

Le solide $(S)$ passe pour la deuxième fois au point d'abscisse $x=0$, à la date $t'$ et avec une vitesse de valeur $v'$

2. 6. Déterminer la valeur de $t'$ et les caractéristiques

2.7. Établir, en fonction du temps, les expressions :

$-\ $l'énergie cinétique $E_{c}$

$-\ $l'énergie potentielle $E_{P}$

$-\ $l'énergie mécanique $E_{m}$

2.8. Déduire de ce qui précède, que le système est conservatif.

Calculer la valeur de l'énergie mécanique

2.9. Représenter qualitativement dans le même repère les diagrammes des énergies (cinétique, potentielle et mécanique) en fonction de $x$,
$$x\in\left[-X_{m}\;,X_{m}\right]$$

Exercice 2

On fixe en $B$ à l'extrémité inférieure un ressort à spires non jointives de raideur $k=00\,N\cdot m^{-1}$ de masse  négligeable, un solide $(S)<$le masse $m=250\,g$

L'autre extrémité supérieure du ressort est fixée  en $A$

Le solide $(S)$ peut glisser sans frottement sur un plan incliné d'un angle $\alpha=30^{\circ}$ par rapport au sol horizontal.

On pose $\Delta$ le  la position du  centre d'inertie de $(S)$ à l'équilibre

1. Déterminer: l'allongement  du ressort à l'équilibre  

2. A partir de sa position d'équilibre, on écarte le solide $(S)$, vers le bas d'une distance

$OC=x_{o}=2\,cm$ puis on l'abandonne sans vitesse initiale à la date $t=0$ en $G_{o}$ (voir figure)

2.1. Montrer que l'énergie mécanique du système {Solide $(S)$+ressort+terre} a pour expression :

$-\ $L'énergie potentielle élastique est nulle lorsque le ressort est à vide.

$-\ $On prend le sol comme origine des altitudes et origine de l'énergie potentielle de pesanteur.

2.2. En déduire l'équation différentielle régissant le mouvement de $(S).$
 
2.3. Calculer la période du mouvement

Exercice 3

1. Un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de coefficient de raideur $k=20\,N\cdot m^{-1}$ est disposé sur un plan horizontal, l'une de ses extrémités est fixe, on accroche à l'autre extrémité un solide $(S)$ de masse $m=125\,g$ Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal $\left(x'\;,o\;,x\right)$

A l'équilibre le centre d'inertie $G$ du solide $(S)$ coïncide avec l'origine $O$ du repère $R\left(O\;,\vec{i}\right)$ (voir figure ci-dessous

On comprime le ressort vers la gauche, le point $G$ occupe la position $G0$ telle que $OG0+-15\,cm$ et à l'instant $t=0$, on lâche le solide sans vitesse initiale.

1.1. Établir l'équation différentielle qui régit le mouvement de $(G)$

1.2. En déduire l'expression de la pulsation propre $\omega_{o}$ des oscillations de $(G)$, calculer numériquement $\Omega_{0}$
 
1.3. Vérifier que quelque soient les valeurs de $x_{m}$ et $\zeta$, l'équation horaire $x(t)=x_{m}\sin \left(\omega_{0}t+\zeta\right)$ est solution de l'équation différentielle précédente.

1.4. Déterminer la valeur de l'amplitude $x_{m}$ et celle de la phase initiale $j$ de mouvement de $(G).$

1.5. Donner l'expression de la vitesse instantanée $v(t)$ de solide $(S)$ en fonction de $x_{m}$, $\Omega_{0}$ et $\zeta$
1.6. Exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur, en fonction de $k$ et $x_{m}$ Calculer sa valeur

2. En réalité les frottements existent et se réduisent à une force $f=-hv$, où $v$ désigne la vitesse instantanée de solide $(S)$ et h est une constante positive.

2.1. Préciser la nature des oscillations de l'oscillateur mécanique constitué ainsi que le nom du régime selon l'importance d'amortissement.

2.2. Montrer que l'énergie mécanique de l'oscillateur diminue au cours des oscillations.

2.3. Le graphique de la figure $n^{\circ}4$ donne $x(t)$

2.3.1. Déterminer la pseudo-période des oscillations.

2.3.2. Déterminer l'énergie mécanique $E_{m}$ de l'oscillateur à chaque passage par un extremum négatif de $x$

2.3.3. Calculer la perte d'énergie pendant la première pseudo-période d'oscillations.

(On admet que la pseudo-période est pratiquement égale à la période propre de cet oscillateur).

Exercice 4

Étude du mouvement d'un pendule élastique
Dans la vie quotidienne, plusieurs appareils mécaniques (matériels de sport, véhicules,$\ldots\ldots$) contiennent des ressorts.

On se propose dans cet exercice, d'étudier dynamiquement et énergétique-ment un système oscillant (solide, ressort) afin de déterminer quelques grandeurs dynamiques et cinématiques.

Un oscillateur mécanique vertical est constitué d'un solide $(S)$ de masse $m=200\,g$ et d'un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur $k$
 
I. Étude dynamique : frottements sont négligeables.

1. Déterminer, à l'équilibre, l'expression l'allongement $\Delta l _{\theta}$ du ressort en fonction de $k$ ,$m$ et $g$ l'intensité de pesanteur.

2. On écarte $(S)$ de sa position d'équilibre d'une distance $Z_{0}$ dans le sens du vecteur $\overrightarrow{k}$ et on l'envoie à un instant $\left(t_{0}=O\right)$ avec une vitesse initiale telle que : $\overrightarrow{v}_{oz}=-V_{o}\overrightarrow{k}$

2.1. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'élongation $z$ et en déduire la nature du mouvement.

2.2. sachant que la solution de l'équation différentielle s'écrit :

$(t)=Z_{m}\left(\omega_{o}t+\varphi\right)$ avec $\omega_{o}$ la pulsation propre de l'oscillateur.

2.1.1. Établir l'expression de la période propre $\tau_{o}$ de l'oscillateur.

2.1.2. En se basant sur la courbe (figure$(2)$) déterminer la valeur de la période propre $\tau_{0}$ et en déduire celle du coefficient de raideur $k$ et celle de
l'amplitude $Z_{m}$ des oscillations.

2.1.3. Déterminer la valeur de la phase $\varphi$ à l'origine et en déduire celle de la vitesse $V_{0}$

II. Étude énergétique : frottements non négligeables

A l'aide d'un système informatique, on visualise l'évolution de l'élongation $z=(t)$ du centre d'inertie $G$ de système précèdent au cours du temps en plongeant l'oscillateur dans deux fluides différents, on obtient le diagramme des espaces représenté dans la figure $(3)$

1. Associer à chaque courbe le régime correspondant.

2. Pour les oscillations correspondantes à la courbe $(1)$, On choisit :

$-\ $le plan horizontal auquel appartient le point $O$, origine du repère $\left(O\;,\overrightarrow{k}\right)$ comme état de référence de l'énergie potentielle de pesanteur $(Epp=0)$

$-\ $l'état où le ressort est allongé à l'équilibre comme état de référence de l'énergie potentielle élastique $(Epe=0)$

2.1. Montrer que l'énergie potentielle élastique de l'oscillateur a pour expression :
$$Ep_{e}=\dfrac{1}{2}kx^{2}+k\delta l_{oz}$$

2.2. Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur de l'oscillateur en fonction de $m$, $g$ et $z$

2.3.  En déduire l'expression de l'énergie potentielle $E_{p}=E_{pp}+E_{pe}$ de l'oscillateur élastique en fonction de $k$ et $z$

2.4. Calculer la variation de l'énergie mécanique de l'oscillateur entre les instants $\left(t_{0}=0_{s}\right)$ et $\left(t_{1}=0.8s\right)$

Exercice 5

On dispose d'un système solide-ressort constitué d'un mobile de masse $m=250\,g$ accroché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur $k=10\,N\cdot^{-1}$
Le mobile assimilé à son centre d'inertie $G$ peut osciller horizontalement sur une tige parallèlement à l'axe $Ox$ (figure $1$).

On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le point $O$ coïncide avec la position de $G$ lorsque le ressort est au repos.

1. Dans un premier temps, on néglige les frottements du mobile sur son rail de guidage.

1. Faire l'inventaire des forces exercées sur le mobile.

1.2. Reproduire la figure $1$ sur la copie et représenter les différents vecteurs forces sans souci d'échelle.

1.3.1. En appliquant la seconde loi de Newton au mobile, établir l'équation différentielle du mouvement.

1.3.2. Vérifier que $x=x_{M}\cos\left(\omega_{0}\cdot t+\theta\right)$ est solution de cette équation différentielle quelles que soient les valeurs des constantes $x_{M}$ et $\theta$

1.4. Le mobile est écarté de sa position d'équilibre et lâché à l'instant $t=O S$, sans vitesse initiale, de la position $x_{o}=2\,cm$, et $x_{m}> 0$

1.4.1. Déterminer numériquement $x_{M}$ et $\theta$

1.4.2. Calculer la période propre $\tau_{o}$

2. On suppose maintenant que les frottements ne sont plus négligeables et peuvent être modélisés par une force dont la valeur est proportionnelle à celle de la vitesse et dont le sens est opposé à celui du mouvement

2.1. À l'aide de la figure $2$, déterminer la pseudo-période T du mouvement.

Comparer sa valeur à celle de la période propre calculée au $1.4.$
-
2.2. Identifier par leur lettre (A ou B) les courbes Ec(t) et Ep(t) de la figure  en justifiant les réponses.

2.3. Pourquoi l'énergie mécanique du système diminue-t-elle au cours du temps ?

4. Sur les figures $2$ et $3$ sont repérés deux instants particuliers notés $t_{1}$ et $t_{2}$

En utilisant la figure  et en justifiant la réponse, indiquer auquel de ces instants la valeur de la vitesse du mobile est :

a. maximale

b. nulle.

5. Que peut-on en conclure quant à la valeur de la force de frottement à chacun de ces instants ?

6. Justifier alors la forme « en escalier » de la courbe $E_{M}(t)$ de la figure