Cinématique du point
Exercice 1
Un point mobile $M$ à un mouvement rectiligne.
On repère sa position sur un axe orienté, par la loi horaire de son abscisse
$x(t)=-5t^{2}+30t+10$ pour $t\geq 0$ pour , les distances sont exprimées en $m$
1. Donner les expressions des mesures algébriques, en fonction du temps
1.1. De la vitesse $V_{x}(t)$
1.2. De l'accélération $a_{x}(t)$
1.3. Quelles sont les valeurs $x_{0}=x(O)$, $v_{xo}=y_{0}(O)$ et $a_{x}O=a_{x}(O)$ que prennent l'abscisse, la vitesse et l'accélération à l'instant initial ?
2.1. Expliquer (par une phrase) comment varie la vitesse au cours du temps, quelle est la nature du mouvement du mobile ?
2.2. A quelle date le mouvement du mobile change-t-il de sens ?
2.3. Quelle est l'abscisse du point de rebroussement (point où le mouvement change de sens) ?
3.1. Exprimer l'abscisse x en fonction de la vitesse $v_{x}.$
3.2. Retrouver, grâce à cette relation, l'abscisse du point de rebroussement.
4.1. Quelle est l'abscisse $x(5)$ du point mobile $M$ à l'instant de date $t=5s$ ?
4.2. Quelle est la distance $d$ parcourue par le mobile depuis l'instant initial jusqu'à l'instant de date $t= 5s$ ?
5.1. Sur papier millimétré représenter le diagramme des vitesses $\left[t\longrightarrow\,v(t)\right]$ en prenant pour échelle : en abscisse : $0.5 s\longrightarrow\,cm$ et en ordonnée : $5\,ms^{-1}\longrightarrow 1\,cm$
5.2. Déterminer graphiquement la date de l'instant où le mobile change de sens
Exercice 2
Un mobile ponctuel est en mouvement sur une trajectoire curviligne dans le repère d'espace $(O\;,\ i\;,\ j)$, il passe par le point $A(O\ ;\ O)$ à l'origine des temps avec la vitesse $v_{0}=2_{\vec{i}}+5_{\vec{j}}$ son vecteur accélération est $a=-8^{\vec{j}}$
1. Établir l'expression de son vecteur vitesse en fonction du temps.
2. Établir l'équation de sa trajectoire ;
quelle est la nature de cette trajectoire ? Donner son allure.
3. Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération du mobile à la date $t=0.625\,s.$
Représenter à cette date le vecteur a sur la trajectoire en utilisant l'échelle suivante : $1\,cm$représente $2\,m\cdot s^{-2}$
4. A quelles dates le mobile est-il passé par le point d'ordonnée $y=0$ ?
Exercice 3
Un mobile $M$ est en mouvement dans un repère orthonormé $R\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
Le vecteur position de $M$ est donné par $OM=\left(b\cdot t+c\right)^{i}+\left(d\cdot t+e\cdot t+f\right)^{j}$ ; avec $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ sont des constantes.
1.1. Sachant qu'à la date $t0 s \boxed{OM_{0}-0}$ et $v_{0}=i+j$ et que l'équation de la trajectoire du mouvement est $y(x)=-x^{2}+4x$, déterminer les valeurs de ces constantes.
1.2. Déduire l'expression des vecteurs position et vitesse de $M.$
2- 2. A quelle date $t_{1}$ le mobile $M$ passe par le point $A(4\;,0)$ ?
3. Tracer la trajectoire de $M$ pour $t\in\left[0\ ;\ t_{1}\right]$
Échelle : $2\,cm$ pour $1\,m.$
4. Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à $t=2\,s$
1. Dans quel sens se déplace le mobile à partir de l'instant $t=0$ ?
2. Trouver la pulsation $w$ et en déduire l'amplitude $X_{m}$ du mouvement.
3. Écrire l'équation horaire du mouvement du mobile.
4. A quelle date le mobile passe-t-il pour la première fois par l'abscisse $2\,m$ en allant dans le sens positif ?
5. Trouver la vitesse et l'accélération du mobile à cet instant ; en déduire la nature accélérée ou décélérée du mouvement à cette date.
Exercice 4
Un mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal.
La figure ci-contre correspond à la courbe $V=f(t)$
1. Donner la définition d'un mouvement rectiligne sinusoïdal.
2. Déduire de la courbe :
2.1. L'amplitude $V_{m}$ de la vitesse.
2.2. La pulsation $\Omega$ du mouvement.
2.3. La phase initiale $\Omega_{v}$ de la vitesse.
3. Écrire l'expression de la vitesse instantanée en fonction du temps.
4.1. Déterminer l'amplitude $Xmax$ et la phase $\Omega_{x}$ de l'élongation $x$ du mouvement.
4.2. Écrire la loi horaire du mouvement.
4.3. Représenter sur la figure, la courbe $x=g(t)$ sans préciser l'échelle.
4.4. Déterminer la date $t'$ du premier passage par la position d'abscisse $x=\dfrac{X_{max}}{2}$
5.1. Montrer qu'à chaque instant :
$a+\Omega^{2}x=0$ ; a étant l'accélération instantanée.
5.2. Déduire l'élongation $x_{1}$ du mobile lorsque son accélération $a_{1}$ vaut $5\;m\cdot s^{-2}$
La courbe de la figure ci-dessous représente les variations de l'élongation $x$ du centre d'inertie $G$ d'un solide $(S)$ en mouvement rectiligne.
1. Quelle est la nature du mouvement du centre d'inertie $G$ de $(S)$ ? Justifier la réponse.
2. Déterminer graphiquement :
2.1. L'amplitude $X_{max}$ des oscillations.
2.2. La période $T$ des oscillations.
2.3. La phase initiale $\Omega_{x}$ du mouvement.
3.1. Écrire l'équation horaire du mouvement.
3.2. Calculer la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{0}= Os$ et $t_{1}=0.45\pi s$
4. Déterminer théoriquement l'instant du $3^{ème}$ passage de $G$ par l'élongation $x=-3\,cm$ avec une vitesse négative.
5. Exprimer alors la vitesse instantanée $v(t)$ du centre d'inertie $G$ en fonction du temps.
6. La courbe $2$ représente les variations de $v^{2}=f\left(x^{2}\right)$
6.1. Justifier théoriquement l'allure de cette courbe.
6.2. Retrouver la valeur de la pulsation $\omega_{\Theta}$ du mouvement.
fig97
Exercice
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal relativement au référentiel terrestre.
Il a l'élongation x dans le repère $(O,\s\up7)$ $0\;,\s\up 7$ de ce référentiel, porté par la trajectoire, d'origine le milieu du segment $[AB]$ et avec $/s/up 8$( orienté du point $A$ vers le point $B.A$ un instant $t=O_{s}$, le mobile passe par le point $A$ sans vitesse initiale.
1. La longueur du segment $[AB]$ est égale à $4\,cm$
Donner la valeur de l'amplitude $X_{m}$ du mouvement.
2. Le mobile repasse pour la première fois par le point A au bout de $0.5_{s}$
2.1. Donner la valeur de la vitesse du mobile au cours de son repassage par le point $A$
2.2. Calculer la valeur de la pulsation du mouvement.
3. Écrire l'équation horaire du mouvement en précisant les valeurs des paramètres du mouvement.
4. Le mobile passe pour la troisième fois, par le point P situé sur le segment $[AB]$ à $1.1\☺,cm$ du point $A$