Dynamique

Exercice 1

Lors d'une éruption, la gorge du volcan (point A situé à $3300\,m$ d'altitude) projette les pierres avec d'énormes vitesses sous un angle de tir $\alpha$

Dans la suite de l'exercice, on va négliger l'action de l'air sur la pierre.

Le champ de pesanteur est uniforme de valeur $g=9.8\,m\cdot s^{-2}$

On travaille dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

1. Faire le bilan des forces appliquées à la pierre après la projection.

2. En déduire les caractéristiques de l'accélération de la pierre.

3. Établir les équations horaires du mouvement de la pierre dans le repère $\left(O_{x}\;,O_{y}\right)$

4. En déduire l'équation et la nature de la trajectoire.

5. Une pierre a été lancée sous un angle $\alpha=35^{\circ}$ et retombe au point $B$, pied du volcan.

Le point $B$ est situé à l'altitude $0 m$, à $9400 m$ de la cheminée du volcan à la même altitude (voir le schéma).
 
Vérifier par calcul que la vitesse initiale $v_{A}$ est voisine de  $260\,m\cdot s^{-1}$

Dans la suite du problème, on supposera que $v_{A}=260\,m\cdot s^{-1}$

6. Combien de temps, la pierre met-elle pour aller du point $A$ au point $B$ ?

7. Calculer la vitesse d'impact $v_{B}$ au point $B$

8. Un hélicoptère filme, à une altitude de $4500\,m$, le volcan en éruption.

Peut-il être touché par cette pierre ? Justifier la réponse par calcul.

Exercice 2

On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ d'une piste se trouvant dans un plan vertical contenant deux point $O$ et $I$

$AB$ est une piste rectiligne de longueur  formant un angle  avec le plan horizontal contenant les points $A$, $I$, $O$

$BD$ est une circulaire de centre $I$ et de rayon $R=0.9\,m$ $\text{(voir figure }2).$

Un solide ponctuel de masse $m=125\,g$ à été lancé an $A$ et glisse sans frottement jusqu'au point $B.$

En arrivant en $B$, il atteint une vitesse.

Dans la portion $BC$, le solide est soumis à une force de frottement  qui s'oppose à la vitesse.

Il arrive en C avec une vitesse nulle, puis aborde la partie $CD$ sans frottement jusqu'à ce qu'il quitte la piste en $D.$

1. Quel est le module du vecteur vitesse  ?                     
2. Quelle est l'intensité de la force de frottement  ?    
                
3. Sur la piste $CD$, la position $M$ du solide est repérée par l'angle $\beta=\overline{IO}\overline{Im}$
 
Exprimer en fonction de $R$, $g$ et $\beta$ le module de la vitesse du solide au point $M$

Calculer cette vitesse en $D.$
 
4. Exprimer en fonction de $m$, $g$ et $\beta$ l'intensité $N$ de la réaction de la piste sur le solide au point $M$ de la piste $CD.$

Quelle est la valeur de $N$ en $D$ ?
                                  
5.1. Exprimer dans le repère $\overline{O_{x}}\;,\overline{O_{y}}$  l'équation de la trajectoire du mouvement du solide quand il quitte le point $D.$
                                                                              
5.2. A quelle distance du point $O$, cette trajectoire coupe-t-elle l'axe  $\overline{Ox}$?
      
On donne : $q=10\,m\cdot s^{-2}$ et $\sin\beta=\dfrac{2}{3}$

Exercice 3   

Coup franc $000$

On étudie un coup franc de football tiré à $20\,m$, face au but de hauteur $2.44\,m$ (Cf figure).

Le ballon de masse $m=430\,g$ est assimilé à un point matériel $M$ posé sur le sol initialement en $O$

Le mur, de hauteur $1.90\,m$, est situé à $9.15\,m$ du ballon.

Le ballon est lancé avec une vitesse initiale  de norme $20\,m/s$ et formant un angle $\alpha$ de $20^{\circ}$ avec l'horizontale.

L'origine des dates correspond au départ du ballon.

1. Dans un premier temps, on néglige totalement les frottements de l'air.

1.1. Établir les équations horaires du mouvement du ballon ainsi que l'équation de la trajectoire.

1.2. Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?

1.3. Le tir est-il cadré ?

2. En réalité, des frottements existent, qu'on modélise par une force $F-hv$ où h est une constante positive de valeur $5\cdot 10^{-3}\,kg/s$ et $v$ le vecteur vitesse de $M$ à chaque instant.
(Un peu plus dur …)

2.1. Déterminer les équations horaires du mouvement en introduisant la constante $t=m/h.$

2.2. Donner l'équation de la trajectoire.

2.3. Le ballon passe-t-il au-dessus du mur ?

2.4. Le tir est-il cadré ?

Exercice 4

Dans cet exercice, on étudie le système {motard + moto} en deux phases $\text{(voir figure}1)$ :

$-\ $La phase d'accélération du motard de $A$ à $B$,

$-\ $Le saut $\text{(au-delà de }C)$

Données : Intensité de la pesanteur :

$g=10m/s^{2}$ Masse du système {motard + moto} : $m=180\,kg$

$L=BC=8.0\,m\sin\left(2\alpha\right)=2\sin\alpha times\cos\alpha$

On pose $h=OC=ED$

1. La phase d'accélération du motard
 
$-\ $On considère que le motard s'élance, avec une vitesse initiale nulle, sur une piste rectiligne en maintenant une accélération constante.

$-\ $Les évolutions au cours du temps de la valeur de la vitesse du {motard + moto} est représentées la courbe ci-contre

1.1. Montrer que la courbe donnée en figure $2$ permet d'affirmer que la valeur de l'accélération est constante.

1.2. Déterminer graphiquement la valeur de l'accélération du motard.

1.3. Déterminer, la distance parcourue par le motard lorsque celui-ci a atteint une vitesse de $50\,m\cdot s^{-1}$

2. Le saut

$-\ $Le {motard + moto} aborde le tremplin au point $B$, avec une vitesse de $50\,m\cdot s^{-1}$ et maintient cette vitesse jusqu'au point $C.$
 
$-\ $Le tremplin est incliné d'un angle $\alpha=30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale.
 
$-\ $Le motard quitte le tremplin en $C$ avec une vitesse initiale $v_{o}=50\,m\cdot s^{-1}$

$-\ $Toutes les actions autres que le poids du système sont supposées négligeables.

On souhaite étudier la trajectoire du centre $G$ du système dans ces conditions.

- Le repère l'(étude $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ est indiqué sur la figure, l'origine des dates est choisie à l'instant où le système quitte le point C (figure 1).
 
$-\ $La vitesse initiale $v_{0}$ du centre d'inertie $G$ du système est incliné d'un angle $\alpha=30^{\circ}$ par rapport à l'horizontale.

2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton, démontrer que les équations horaires du mouvement du point

En appliquant la deuxième loi de Newton, démontrer que les équations horaires du mouvement du point $G$ s'écrivent :

$\overline{OG} x(t)=\left(v_{o}\cos\alpha\right)t$ ;

$z(t)=-1/2\,gt^{z}+\left(v_{0}\sin\alpha\right)t+h$

2.2. On considère que l'atterrissage se fasse sur le tremplin en point $D$, calculer la distance maximale $x_{D} 2.3$

Calculer la hauteur $h=OC$ du tremplin

Exercice 5

Des électrons pénètrent en $O$, avec une vitesse horizontale de $2.10^{7}\,m\cdot s^{-1}$, entre deux plaques horizontales $P_{1}$ et $P_{2}$, séparées par une distance $d=2\,cm$, et entre lesquelles est appliquée une tension constante $U=140\,V$

On admettra que le champ électrique qui en résulte agit sur les électrons, sur une distance horizontale
$L=10\,cm$ mesurée à partir du point $O.$
 
1. Comparer les valeurs du poids d'un électron et de la force électrique qu'il subit à l'intérieur du champ électrique et conclure.

2.1. Donner les équations horaires $x(t)$ et $y(t)$ du mouvement d'un électron dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$,  entre les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$

2.2. Établir l'équation de la trajectoire d'un électron dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

3. De quelle distance verticale les électrons sont-ils déviés à la sortie au point $A$ des plaques ?

4. Ces électrons forment un spot sur un écran $E$ placé perpendiculairement et la distance  $D=20\,cm$, du centre C des plaques.

Quelle est la distance $Y$ de ce spot au centre $I$ de l'écran ?