EXERCICE 1

Le solide $(S)$ de masse m évolue sur la piste $ABCMD$ schématisé ci-dessous.

$AB$ est une partie rectiligne de longueur l et BD est une portion circulaire de rayon $r$.

Sur les parties $AB,BC$ et $CM$ existent les forces de frottement représentées par la force unique $\overrightarrow{f}$, d’intensité constante $f$, qui s’oppose au mouvement de $(S)$.

Données numériques : $l=1,5m;r=80cm;\alpha =30°;\theta =60°;Z_A=75cm;Z_B=149,3cm$;

vitesse de $(S)$ en $A:V_A=8,6m/s$;

vitesse de $(S)$ en $B:V_B=7,68m/s$

Intensité de pesanteur : $g=10N/kg$.

Masse du solide $(S):m=100g$

 
3.1. Déterminer l’énergie potentielle du solide $(S)$ en $A,B,C$ et $D$.

3.2. Utiliser le théorème de la non conservation de l’énergie mécanique pour déterminer la vitesse du solide $(S)$ lors de son passage en $C$ et en $D$.

3.3. Etablir, en fonction de $V_B,f,r,\alpha$ et $\theta$, l’expression de la vitesse $V_M$ du solide $(S)$ au point $M$ en utilisant le théorème de la non conservation de l’énergie mécanique

EXERCICE 2

La figure ci-dessous est celle de la piste du jeu de chariot. Elle est constituée d’une partie circulaire
$BCD$ de centre $O$ et de rayon $r=20cm$ raccordée tangentiellement en $B$ à une partie rectiligne $AB$.

Un essai consiste à lâcher, sans vitesse initiale, d’un point $K$ situé entre $A$ et $B$, à une distance $AK=x$, un petit chariot supposé ponctuel de masse $m=1600g$.

Le jeu est gagné si le chariot rebrousse chemin au point $M$ de la partie circulaire à une hauteur $h_2$ qui fait la moitié de $h_1$.

Les forces de frottement d’intensité $f=IN$ s’exercent seulement sur la partie circulaire.

 On prendra l’énergie potentielle du chariot nulle sur l’horizontal passant par $C$.

- $\alpha =\pi /6;\theta =\pi /3$

- $AB=l=1m;g=10N/kg$
 
1. Enoncer le théorème de la non conservation de l’énergie mécanique

2. Déterminer les énergies potentielles de pesanteur et mécaniques du chariot lors de son passage aux points  $K,B;C,M$ et $D$

3.1. En utilisant le théorème de la non-conservation de l’énergie mécanique, montrer que la hauteur $h_2$ dont remonte le chariot avant de rebrousser chemin sur la partie $BCD$ a pour expression :
$h_2=(l-x)\sin \alpha +(1-\cos \alpha )-{\displaystyle \frac{(fr(\theta +\alpha ))}{mg}}$

2.2. Déterminer la valeur de $x$ pour que le jeu soit gagné

EXERCICE 3

Une boule pleine homogène sphérique de masse $m_1$ er de rayon $r$ est soudée en $A$ à une tige cylindrique mince homogène $AO$ de longueur $L$ et de masse $m_2$.

L’ensemble est mobile autour d’un axe horizontal passant par l’extrémité libre $O$ de la tige. Le système formé par la boule et la tige constitue un pendule pesant.

On écarte le pendule d’un angle $\beta =60°$ à partir de sa position d’équilibre stable et on le lâche avec une vitesse angulaire $w_o=5rad/s$ (début du mouvement).
On donne $m_1=0,6kg;m_2=2/3m_1;r=4cm;L=15r$.

$g=10N/kg$.
 
La position de référence de l’énergie potentielle et l’origine des altitudes sont confondues avec le point $O$     

1. Montrer que le moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe passant par le point $O$ vaut $J={\displaystyle \frac{4596}{15}}{m}_1{r}^2$ puis calculer sa valeur.

2. Déterminer l’énergie potentielle du pendule au début du mouvement.

3. Déduire l’énergie mécanique du pendule

EXERCICE 4

Le schéma de la figure $(1)$ ci-contre représente un système mécanique formé par :

-Une poulie homogène de rayon $r=20cm$ mobile autour d’un axe $(\Delta )$ fixe et horizontal passant par son centre d’inertie. Son moment d’inertie par rapport à cet axe est : $J_{\Delta }=2.310kg.m^2$.

-Un solide $(S)$ de masse $m=400g$ attaché à l’extrémité d’un fil inextensible et de masse négligeable, enroulé sur la gorge de la poulie. Le fil ne glisse par sur la poulie.

Le solide $(S)$ repose sur un plan incliné d’un angle $\alpha =30°$ par rapport à l’horizontale.

Lorsqu’on libère le système, le centre d’inertie $G$ du solide $(S)$ passe par le point $A$ dont la cote sur l’axe vertical $Oz$ est $z_A=125cm$, il glisse sans frottement sur la ligne de plus grande pente du plan incliné et passe par le point C de cote $z_c=45cm$ à la vitesse $v_c=3m.s^{-1}$

Sur la figure $(2)$, on représente les variations de l’énergie mécanique Em du solide $(S)$ en fonction de la cote z du centre d’inertie G de $(S)$.

On donne $g=10N.k{g}^{-1}$

Exprimer à l’aide de la figure $(2)$, l’expression de l’énergie mécanique de $(S)$ en fonction de la cote $z$.

En posant   (trouver $a$ et $b$).

1.2. Vérifier que l’énergie $E_m$ de $(S)$ au point $C$ vaut $3J$

1.3. Exprimer l’énergie potentielle de $(S)$ au point $C$ en fonction d’Em $(C),m$ et $vc$.

Calculer $Epp(C)$.

1.4. Déterminer la constante de l’état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur, sachant que $c\ne 0$ et la position de l’état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur $z_0$ sachant que $z_0\ne 0$.

1.5.Établir en utilisant la variation de l’énergie mécanique entre $A$ et $C$ que l’expression de la tension de fil $T=\alpha \sin \alpha$ et calculer sa valeur. (En utilisant $∆E_m\ne 0$ et $E_m(Z_A)=a{Z}_{}+b$ et $E_{m}(Z_{c)=aZ_{c}+b$

1.6. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au solide (S) entre les positions $A$ et $C$, trouver l’expression de la vitesse $v_A$ en fonction de $v_c,m,g,\alpha ,T,z_A$ et $z_c$.

Calculer sa valeur.

2. Les frottements dus à l’axe de rotation $(\Delta )$ sont équivalents à un couple de moment constant $M_c$

2.1. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la poulie entre les instants $t_A$ et $t_C$,

Trouver l’expression de $M_c$ en fonction de $J_{\Delta },r,v_c,v_A,\alpha ,T,z_A$ et $z_c$.

 Calculer sa valeur.
 
2.2. Le fil se détache à l’instant où le centre d’inertie G de $(S)$ passe par le point $C$.

La poulie continue à tourner et s’arrête après avoir effectué $n$ tours supplémentaires.
 
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, établir l’expression de $n$ en fonction   $M_c,J_{\Delta },r$ et $v_c$.
Calculer sa valeur.

EXERCICE 5

Une boule $B$ de masse $m$, accrochée un fil inextensible de longueur $l$, est écartée de sa position d’équilibre d’un angle α et est abandonnée sans vitesse initiale.

A son passage par la position verticale, la boule percute un corps ponctuel $A$ de même masse et s’arrête.

Le corps $A$ glisse sur une piste $OCD$ (voir figure ci-dessous).

La partie $OC=d$ est un plan horizontal rugueux de coefficient de frottement dynamique $\mu d$ (c’est-à dire que la force de frottement sur la portion $OC$ a pour intensité $f=\mu dmg$).

La portion $CD=L,$ parfaitement lisse, est inclinée d’un angle $\beta =30°$ par rapport l’horizontale.

1. Donner l’expression de la vitesse de la boule $B$ juste avant de toucher le corps $A$

2. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse du corps $A$ après l’interaction.

3. 1. Représenter les forces exercées sur le corps $A$ en une position entre $O$ et $C$.
 
3.2. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse du corps $A$ au point $C$ en fonction de $g,l,d,\alpha$ et $\mu d$.
     
3.3. De quel angle $\alpha m$ doit-on écarter la boule $B$ pour que le corps $A$ arrive en $C$ avec une vitesse nulle.

4. A partir du point $C$, le corps A aborde la partie $CD$ avec une vitesse nulle.
 
Il arrive sur un ressort parfait de longueur à vide l0 et de constante de raideur $k$.
 
4.1. En appliquant la conservation de l’énergie mécanique, montrer que : ${\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2–(mgsin\beta )x-mgL\sin \beta =0x$ étant la valeur de la compression maximale du ressort
 
NB : On pourra considérer le plan horizontal passant par $C$ comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur.

4.2. En déduire la valeur de la compression maximale du ressort.

On donne : $m=200g;l=100cm,d=1m,\mu d=0.1,g=10N/kg,k=140N/m$

EXERCICE 6

Une bille de masse $m=500g$ et de dimensions négligeable est lancé à un point $A$ avec une vitesse

Elle se déplace sur glissière constituée de trois parties :

une rectiligne $AB=2m$ incliné de $\beta =30°$ sur l’horizontal, une partie horizontal $BC$ et une partie circulaire $CF$ de centre $O$ et rayon $r=50cm$.

Une force constante de valeur $F=4,5N$ agit sur la bille uniquement sur la partie $AB$.

Le plan horizontal passant par $B$ est la référence des énergies potentielles de pesanteur

Le point $D$ est repéré par angle $\alpha =60°$

L’énergie mécanique du système bille-terre au point $C$ vaut $E{m}_C=5J$.

Les frottements sont négligeables

1. Calculer l’énergie potentielle du système bille-terre en $A$      

2. Calculer la vitesse de la bille en $A$
 
3. Calculer la vitesse de la bille en $D$

EXERCICE 7

Une bille assimilable à un point matériel de masse $m=200g$ est relié à un point fixe $O$ (Voir figure)
On ${\theta }_0=600;l=1,6m$

La bille est lancée vers le bas avec une vitesse initiale $V_0=3m.s^{-1}$

A  une date quelconque, la position de la bille est repérée par l’angle $\theta$ que forme le fil avec la position d’équilibre

1. Exprimer la vitesse de la bille en fonction $V_0,g,l,\theta$et ${\theta }_0$

2. On suppose que la corde se casse lorsque la bille passe par la verticale de $A$.     
 
Elle aborde à la vitesse $V_A=5m.s^{-1}$ une piste oblique et une partie circulaire $BCD$ raccordé tangentiellement en $B$ à $AB$, de rayon $R=25cm$
 
2.1. Calculer l’énergie mécanique de la bille en$A$.

On donne : $AB=1m$ et $\alpha =450$
 
2.2. En supposant que les frottements sont négligeables, quelle sera la vitesse de la bille en $D$ ?

2.3. En réalité, on constate qu’en $D$, la bille n’a que la moitié de la vitesse précédente

Cela est dû aux pertes d’énergie mécanique du fait de l’existence des forces de frottements correspondant à une force constante $\overrightarrow{f}$ qui exerce sur la bille entre $A$ et $D$

Calculer $f$

EXERCICE 8

Ali s’amuse avec son jouet (solide $(S)$ de masse $m$) dans une gouttière $ABCD$.

Ce jouet peut glisser sans frottement dans la gouttière.

La portion AB est inclinée d’un angle $\alpha =30°$ sur l’horizontale, la portion $BC$ est horizontale, et la portion $CD$ est un quart de cercle de rayon $R$ et de centre $O$.

Le solide $(S)$ passe au point $A$ avec une vitesse $V_A=3m/s$.

On note $E_A$ et $E_B$ respectivement l’énergie mécanique du système Terre-solide aux points $A$ et $B$, on note $V_B$ la vitesse du solide en $B$.
On donne : $AB=d=6m;m=24kg;g=10N/kg$.

On choisit comme niveau de référence pour énergie potentielle de pesanteur, le plan horizontal contenant le tronçon horizontal $BC$

1. Exprimer, puis calculer numériquement $E_A$.

2. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les positions $A$ et $B$, exprimé V_{B}$enfonctionde$V_{A}, d, α$,et$g$.

Puis calculer numériquement $V_B$.

3. Exprimer, puis calculer numériquement $E_B$.

4. Comparer $E_A$ et $E_B$.

Le résultat était-il prévisible ? Justifier votre réponse.     
 
5. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les positions $C$ et $D$, établir une relation entre $V_B,R$ et $g$, si on admet que le solide $(S)$ parcours le tronçon $BC$ à vitesse constante et arrive en D avec une vitesse nulle.
 
Calculer numériquement $R$.

EXERCICE 9  

Un service au tennis

Au service, un joueur de tennis frappe, à l’instant de date $=0s$, une balle de masse $m=58,0g$ à une hauteur $h=2,4m$ au-dessus du sol et lui communique alors une vitesse de valeur

La balle décrit une trajectoire parabolique, et touche le sol au point $I$ On négligera les frottements.

Dans le référentiel terrestre, on prend pour référence d’énergie potentielle l’altitude du terrain $EPP=0J$, et l’intensité de la pesanteur : $g=9,81N/kg$

1. Calculer l’énergie cinétique $E_C(t_0)$ et l’énergie potentielle de pesanteur $EPP(t_0)$ de la balle à l’instant de  date $t_0$

2. Donner l’expression de l’énergie mécanique $E_m(t_0)$  de la balle cet instant $t_0$, puis calculer sa valeur

3. Que vaut l’énergie potentielle de pesanteur à l’instant $t_1$ où la balle touche le terrain en $I$ ?

4. Rappeler le principe de conservation de l’énergie mécanique, et déduire des questions précédentes la valeur de l’énergie cinétique de la balle puis sa vitesse à la date $t_1$.

Justifier.

5. En réalité la vitesse d’impact au point $I$ est-elle inférieure, supérieure ou égale à la valeur calculée à la question précédente ? Justifier

EXERCICE 10

Un solide $(S)$ supposé ponctuel, de masse $m=100g$ est lancé à partir d’un point $A$, avec une vitesse initiale lancé à partir d’un point $A$, avec une vitesse initiale $V_A=4m.s^{-1}$

Il glisse à l’intérieur d’une piste $ABCD$ constituée de deux parties :

- Une partie rectiligne $AB$, de longueur $AB=80cm$, et inclinée d’un
$Angle\alpha =30°$ par rapport au plan horizontal.

- Une partie circulaire $BCD$ ($CD$ verticale) de rayon $r=35cm$ et de centre $O$.

On choisit le plan horizontal passant par le point $B$ comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur $E_{PP}$     

1. On néglige tous les frottements sur la partie $ABC$.

1.1. Ecrire l’expression de $E_{PP}(A)$  de $(S)$ au point A.

Calculer sa valeur.

1.2. En déduire la valeur de l’énergie mécanique $E_M(A)$ de $(S)$ au même point $A$.

1.3. Ecrire l’expression de $E_{PP}(C)$de $(S)$ au point $C$, Calculer sa valeur

1.4. Sachant que l’énergie mécanique de $(S)$ se conserve sur la partie $ABC$.

Calculer l’énergie cinétique $E_C(C)$ puis la vitesse $V_c$ au passage au point $C$.
1.5. Soit $F$ un point de la partie $AB$ où $E_C(F)=7E_{PP}(F)$.  

Calculer l’énergie potentielle puis la distance $d=AF$

2. L’énergie mécanique de $(S)$ au passage en $D$ devient $E_m(D)=19000114J$

2.1. Montrer qu’il existe des forces de frottements dans la piste $CD$

2.2. Calculer la variation $∆E_M$ de l’énergie mécanique de $(S)$ entre les pointes $C$ et $D$, que devient cette énergie dégradée d’énergie mécanique

2.3. Ecrire l’expression de $∆E_M$ en fonction du travail de la réaction de la piste sur $(S)$, déduire l’intensité de la force équivalente aux frottements entre $(S)$ et la piste $CD$.

EXERCICE 11

Un solide assimilable à un point matériel, de masse $m=100g$, glisse sur une piste formée de trois parties $AB,BC$ et $CD$.

La partie $AB$ est $arc$ de cercle de rayon $R=5m$ et de centre $O,BC$ est une partie rectiligne horizontale de longueur $l=5m$ et $CD$ est une partie rectiligne lisse.

On donne $\theta =30°$.

3.1. Calculer l’énergie potentielle de pesanteur du solide aux points $A,B$ et $C$.

On choisira l’état de référence des énergies potentielles le plan horizontal passant par $B,C$et $D$ ; et l’origine des altitudes en $B$.

3.2. Le solide part de $A$ sans vitesse initiale.
 
3.2.1. Calculer son énergie mécanique en $A$.

3.2.2. Que devient cette énergie en $B$ si les frottements sont négligeables ?

3.2.3. Calculer alors dans ces conditions, la vitesse du solide en $B$ et $C$.

3.3. En réalité sur le plan $BC$, il existe des forces de frottement d’intensité constante $f$.  

Ainsi, le solide arrive en $C$ avec une vitesse $V_C=1,66m/s$.

Calculer alors l’intensité des forces de frottement.

3.4. En $C$, est placé horizontalement un ressort de raideur $K=100N/m$ dont l’extrémité libre coïncide avec le point $C$ et l’autre extrémité étant fixe en $D$.

Calculer la compression maximale $x_0$ du ressort.

EXERCICE 12

1. Une masse $m=150g$ est accrochée à un ressort

Ce ressort est étiré de $x_m=10,0cm$, puis lâché sans vitesse initiale.

Pendant le mouvement de va et vient, la vitesse maximale atteinte par la masse $m$ vaut $v_m=\pm 4,00m/s$.

Il n’y a pas de frottements.

1.1. Que peut-on dire de l’énergie mécanique de ce système ?

1.2. Avec ces informations, calculer la valeur numérique de cette énergie mécanique $E_m$

1.3. Déterminer la raideur k du ressort

2. Quand le ressort est comprimé de $x_1$, la masse m possède une vitesse dont la valeur algébrique vaut $v_1=+1,50m/s$.

Il n’y a pas de frottements.
2.1. Où se situe le solide S par rapport à la position d’équilibre du ressort et dans quel sens se déplace-t-il ?

2.2. Donner l’expression littérale de $x_1$ en fonction de $E_m,v_1$ et $m$.

Calculer numériquement $x_1$

3. Alors que le solide passe par la position d’équilibre en se déplaçant vers la droite, un dispositif permet de décrocher la masse : à partir de cet instant, le ressort n’a alors plus aucune action sur le solide $S$

3.1. Quelle est la valeur numérique $v_2$ de la vitesse à cet instant précis ?

3.2. Quelle sera le mouvement de la masse en supposant qu’il n’y a pas de frottements.

Justifier votre réponse

3.3. En réalité, au moment où la masse se décroche, elle est soumise tout le long de son mouvement à une force de frottements dont l’intensité vaut $f$
Sachant que la masse s’arrête au bout d’une distance $d=1,5m$, calculer l’intensité f de cette force

EXERCICE 13

Un pendule élastique est constitué par un solide ponctuel $(S)$ de masse $m=400g$ qui  est relié à un ressort de masse négligeable et de raideur $k=14,4N/m$. L’ensemble est posé sur un plan incliné d’un $angle=30°$ par rapport à l’horizontale.

Sur ce plan les frottements sont  suposés négligeables.

1. Trouver l’allongement $x_0$ du resort à l’équilibre.

2. On écarte le solide $(S)$ d’une distance $a=6cm$ vers le bas et le lâche sans vitesse initiale.

Le pendule oscille entre $x=+a$et $x=-a$.

2.1. Donner l’expression de l’énergie potentielle quand le solide est au point $x=+a$ en fonction de $k,x_0$ et $a$.

Faire l’application numérique.

2.2. Exprimer la valeur V de la vitesse de passage du solide $(S)$ au point $O$ (position d’équilibre) en fonction de $k,m$ et $a$.

Calculer $V$.     

-L’état de référence des énergies potentielles de pesanteur est choisi à la position d’équilibre.

-L’état de référence des énergies potentielles élastiques est choisi pour le ressort détendu.

3. Après plusieurs oscillations le solide se détache du ressort au pont $M$ d’abscisse $x=+a$.

Le solide glisse sur la piste $MCDE$ formé de deux parties :

-Une partie rectiligne $MC$ lisse de longueur $L=6,4cm$;

-Une partie circulaire $CDE$ de centre $O^{\prime }$, de rayon $r=8cm$ et d’angle au centre $\beta =60°$.

3.1- Déterminer, de deux manières différentes, la valeur $V_C$ du solide au point $C$.

3.2- Le solide arrive en $D$ avec une vitesse de valeur $V_D=0,9m/s$.

a- Calculer les variations de l’énergie potentielle $\Delta E_{pp}$ et l’énergie cinétique $\Delta E_C$ entre $C$ et $D$.

b- Les forces de contact exercées par la piste $CDE$ sur le solide sont-elles conservatives ?

Justifier.

 Si non, déterminer l’intensité supposée constante de la force non conservative