Oscillations électriques libres et forces

Exercice 1

Décharge d'une bobine dans un condensateur

Un générateur idéal de courant constant, débitant une intensité

$I_{0}=225\,mA$, est connecté à un condensateur de capacité $C=175\,nF$ et à une bobine d'inductance

$L=42.2\,mH$ et de résistance négligeable.

A un instant, qu'on prendra comme origine des dates, on ouvre l'interrupteur $K.$

1. Quelle est, à l'instant de date $t=0$, la tension $u_{C}=(O)$ aux bornes du condensateur.

Justifier.

2. Quelle est, à cet instant, l'intensité $i(0)$ du courant dans la bobine.

Justifier.

3. Établir l'équation différentielle traduisant l'évolution de la tension $u_{C}(O)$ aux bornes du condensateur.

4. Donner la solution de cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales particulières de cet exercice.

5. Quelle valeur maximale $U_{CO}$ atteint la tension $u_{C}t$ aux bornes du condensateur ?

En déduire la valeur maximale $Q_{0}$ de la charge du condensateur.

6. Quelle est l'énergie $E_{0}(O)$ initialement stockée dans la bobine ?

7. En faisant un bilan énergétique, retrouver la valeur maximale $U_{C0}$ atteinte par la tension  $u_{C}(t)$ aux bornes du condensateur.

8. A partir du résultat de la question $4.$, exprimer l'intensité du courant $i(t)$ et la charge $q(t)$ du condensateur au cours du temps.

9. Représenter l'allure de l'évolution de l'état du circuit $LC$ dans un diagramme des phases : $q(t)$ en abscisses $(1\,cm\text{ pour }5\mu C)$  et $i(t)$ en ordonnées $(1\,cm\text{ pour }100\,mA)$

Indiquer le point représentant l'état initial du circuit et le sens de parcourt du point d'état

Exercice 2 

$\text{dipole }(R\;,\text{dipole }(R\;,L\;,C)$

On a chargé un condensateur de capacité $C=1.00\mu F$ sous une tension constante $U_{o}=10.0\,V$, par l'intermédiaire d'un résistor de résistance : $R=100\,\Omega$

On le branche ensuite aux bornes d'une bobine pure d'inductance : $L=10.0\,mH$ (voir Figure ci-contre).

On cherche à étudier les variations de la charge  $q=(t)$ de l'armature $A$ du condensateur et celles du courant $i(t)$ dans le circuit de décharge.

Les sens conventionnels positifs des courants sont donnés sur le schéma.

A. Charge du condensateur.

1.1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction $q(t)$ au cours de la charge du condensateur.

1.2. Quelle est l'expression, et la valeur numérique, de la constante de temps du dipôle $(R\;,C)$ ?
 
1.3. Quelle est la durée de la charge du condensateur $C$ ?
 
B. Décharge du condensateur.

2. Donner les expressions littérales des énergies électrique, $E_{e}(t)$, et magnétique, $E_{m}(t)$, stockées dans les dipôles à l'instant $t$, au cours de la décharge du condensateur.
 
3. Donner les expressions littérales, en fonction des données, de la charge maximale du condensateur $Q_{m}$ et de l'intensité maximale $I_{m}$ du courant circulant dans le circuit de décharge.
 
Faire l'application numérique.
 
4. A l'instant $t=0$, date du début de l'acquisition des données au cours de la décharge, l'énergie électrostatique est égale à l'énergie magnétique.

On note qu'à cet instant, la charge $q_{0}$ de l'armature

A du condensateur est positive et que la valeur de l'intensité $i_{0}$ du courant de décharge est négative.

Exprimer les valeurs littérales de la charge initiale $q_{0}$ du condensateur et de l'intensité initiale $i_{0}$ en fonction, respectivement, de $Q_{m}$ et de $I_{m}.$

Faire l'application numérique.
 
5. À partir d'arguments énergétiques, établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction $q(t)$ au cours de la décharge du condensateur.
$$q(t)-A\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_{o}}t+\phi\right)$ où : $T_{o}-2\pi\sqrt{LC}$$

6. La solution de cette équation différentielle est du type :

où :
6.1. Donner l'expression littérale de la fonction $id(t)$

6.2. Déterminer les valeurs numériques de $A$ et de $\phi$

6.3. Tracer le graphe de la fonction $q(t)$, en précisant les coordonnées de ses points remarquables

Exercice 3    

Énergie emmagasinée dans un condensateur

On considère le circuit suivant : $E=10\,V$

$L=100\,mH$

Pour charger le condensateur on bascule l'interrupteur en position $1.$

1. A un instant $t=0$ pris comme origine des dates, on bascule l'interrupteur en position $2.$

On étudie les oscillations libres qui prennent naissance dans le circuit.

Pourquoi parle-t-on d'oscillations libres à partir de cet instant ?

2. On suppose, dans cette question, que r$r=0$

2.1. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_{C}(t)$

2.2. En déduire le bilan énergétique du circuit faisant intervenir l'énergie $E_{C}$ emmagasinée dans le condensateur et l'énergie $E_{L}$ emmagasinée dans la bobine.

2.3. Interpréter ce bilan et représenter qualitativement sur une même figure l'allure de $E_{C}(t)$ et $E_{L}(t)$ emmagasinée dans la bobine.

3. Le document suivant donne l'évolution de l'énergie $E_{C}(t)$ emmagasinée dans le condensateur au cours du temps.

3.1. Que peut-on dire de l'évolution de $E_{C}(t)$

Comparer avec le cas de la question $.3.$

3.2. A quel type d'oscillations libres a-t-on affaire ?

3.3. Expliquer, sans calcul, comment il faut modifier le bilan d'énergie établie à la question $2.2$
 
3.4. Exprimer en fonction de la capacité $C$, l'énergie $E_{C}(O)$ emmagasinée dans le condensateur à la date $t=0$

3.5. En utilisant la courbe $E_{C}(t)$, déduire la valeur de $C.$

4. On s'intéresse maintenant à la courbe de $u_{C}(t)$

4.1. Calculer la pseudo-période $T$ des oscillations.

4.2. Indiquer alors de la courbe $(A)$, $(B)$ ou $(C)$, celle qui représente effectivement $u_{C}(t)$

Exercice 4

Soit un générateur de courant alternatif de fréquence négligeable.

La tension efficace $U_{\text{eff}}$ aux bornes de ce générateur est maintenue constante et égale à $100$ volts dans tout l'exercice.

1- Une bobine de résistance négligeable et d'inductance $L$ est disposée aux bornes du générateur.

Pour une fréquence de $5\,KHz$ et une valeur de $L_{0}=20\,mH$ de l'inductance, la bobine est parcourue par un courant i variable.

1.1. Calculer l'intensité efficace $I_{\text{eff}}$
 
1.2. Comment varie cette intensité avec la fréquence quand on maintient l'inductance égale à $L_{0}$ ?

2. Pour la suite de l'exercice, on maintient la fréquence fixe à $5\;,KHz$

On met la bobine précédente en série avec un condensateur de capacité $C=8\cdot 10^{-8}F$ et une résistance pure $R=236\Omega$

2.1. Calculer l'impédance du circuit et en déduire l'intensité efficace $I_{\text{eff}}$ qui parcourt le circuit.

2.2. Calculer le déphasage entre l'intensité instantanée et la tension aux bornes du circuit.

2.3. Tracer la courbe de variation de l'intensité efficace en fonction de $L$ et la commenter.

3.1. Déterminer la valeur $L_{1}$ de l'inductance qui correspond au maximum de l'intensité.

3.2. Calculer ce courant ainsi que les tensions efficaces aux bornes de l'inductance $U_{L}$, du condensateur $U_{C}$ et de la résistance $U_{R}$

3.3. Faire la construction de Fresnel à la résonance

Exercice 5

Un circuit $(r\;,L\;,C)$ est constitué d'une bobine d'inductance $L=5\,mH$ et de résistance $r=4\Omega$ montée avec un condensateur de capacité $C=1\mu F$

Un générateur délivre une tension constante $E=6\,V$ (voir figure ci-dessous).

1. En mettant l'interrupteur (commutateur) sur la position $1$, le condensateur se charge.

A la fin de la charge, déterminer :

1.1. La tension $U_{AB}$ aux bornes du condensateur.

1.2. La charge $Q$ du condensateur.

1.3. L'énergie emmagasinée dans le condensateur.
Application numérique

2. A $t=O s$, on bascule l'interrupteur sur la position $2.$

2.1. Justifier le sens du courant électrique $i(t)$ dans le circuit.

En déduire l'expression de $i(t)$ en fonction de la charge $q(t)$ du condensateur à un instant $t$ quelconque.

2.2 Exprimer la tension $u_{C}=u$ aux bornes du condensateur et la tension $u_{Lr}$ aux bornes de la bobine.

2.3. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par $u(t)$ est de la forme : $\dfrac{d^{2}u}{dt^{2}}+2\dfrac{du}{dt}+_{o}^{2}u=0$

Déterminer les constantes $\lambda$ et $\Omega_{o}$

3. 1. En posant $u(t)=Ae^{-\alpha t}$ donner l'expression de l'équation caractéristique.

Discuter sur les différents cas possibles.

3.2. Montrer qu'on a un régime oscillatoire amorti.

4. La solution de l'équation différentielle est de la forme : $\dfrac{du}{dt}$ et $\dfrac{^{2}u}{dt^{2}}$

4.1. Calculer les dérivées  et
4.2. En utilisant l'équation différentielle donnée au 2.3, déterminer les constantes $U_{o}$, $\tau$ et $\Omega$

Que représentent ces constantes ?

4.3. Donner les expressions numériques de $u(t)$, $q(t)$ et $i(t)$

4.4. Donner l'allure de la courbe donnant la tension $u(t)$

Exercice 6

Un groupe d'élèves dispose de trois $3)$ dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ dans des boîtiers.

Il souhaite déterminer la nature et les caractéristiques de chacun de ces dipôles.

Chaque dipôle peut être un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité C ou une bobine d'inductance $L$ dont on négligera la résistance.

1. Détermination de la nature des dipôles
On réalise le montage suivant (Figure)

$G$ : générateur de tension continue

$R_{P}$ : résistance de protection

$LT$ : lampe témoin

On branche successivement entre $X$ et $y$ les dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$

On note les observations suivantes (interrupteur $K$ fermé) :

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Dipôl e}&\text{Observateurs }\\ \hline D_{1}&\text{La lampe s’allume avec un léger retard par rapport à l’instant de fermeture du circuit.}\\ \hline D_{2}&\text{La lampe ne s’allume pas.}\\ \hline D_{3}&\text{La lampe s’allume instantanément}\\ \hline \end{array}$

Déduire de ces observations la nature des dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$

Justifier les réponses.

2. Détermination des caractéristiques des dipôles

On réalise le deuxième montage indiqué ci-dessous (Fig)

$G_{1}$ est un générateur qui délivre une tension sinusoïdale d'expression :  

$u(t)=10\sqrt{2}\cos\left(100\pi t\right)$
Un ampèremètre mesure l'intensité $I$ du courant dans le circuit

On branche successivement les dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ entre $A$ et $B$

 Les résultats des mesures sont consignés dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Dipôle}&D_{1}&D_{2}&D_{3}\\ \hline I(mA)&63&6.3&10\\ \hline
\end{array}$$

Déterminer les caractéristiques des dipôles $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$

3. Visualisation de $u(t)$ et $i(t)$ à l'oscilloscope

On retire l'ampèremètre du circuit et on associe en série entre $A$ et $B$ un conducteur ohmique de résistance

$R=1000\,Om
$, un conducteur de capacité $C=2\mu F$ et une bobine d'inductance $L=05\,H$ et de résistance négligeable.

A l'aide d'un oscilloscope bicourbe, on désire visualiser l'allure des variations de la tension $(\tau)$ aux bornes du conducteur ohmique de résistance $R$ sur la voie $y_{1}$ et les variations de la tension instantanée $u(t)$ aux bornes du générateur sur la voie $y_{2}$

3.1. Faire le schéma du montage.

3. 2. Donner l'expression de l'impédance $Z$ du circuit en fonction de $R$, $C$, $L$ et $\Omega$
3.3. Calculer la valeur de $Z$

3.4. Calculer l'intensité $I$ du courant dans le circuit.

3.5. Déterminer la phase $\Omega_{u/i}$ de la tension  $u(t)$ par rapport à l'intensité $i(t)$

3.6. En déduire la nature du circuit.

3.7. Donner l'expression de l'intensité $i(t)$

Exercice 7

Au cours d'une journée dénommée « la journée de la physique », un groupe d'élèves se propose de déterminer par deux méthodes différentes, les caractéristiques d'une bobine de résistance $r$ et d'inductance $L$ et d'observer le phénomène de la résonance d'intensité du courant électrique.

Le groupe dispose en plus de la bobine, du matériel suivant :

$-\ $un conducteur ohmique de résistance $R=20\Omega$ ;

$-\ $un voltmètre de grande impédance ;

$-\ $un générateur délivrant une tension alternative

sinusoïdale de fréquence ; $f=50\,Hz$

$-\ $un oscilloscope bicourbe ;

$-\ $des fils de connexion.

1. Première méthode Figure 1

Les élèves réalisent le montage schématisé ci-dessus.

À l'aide d'un voltmètre de grande impédance, ils mesurent les tensions $U_{AM}$, $U_{BA}$, $U_{BM}$

Ils obtiennent les résultats suivants

$U_{AM}=1.41\,V$ ;

$U_{BA}+2.06\,V$ et

$U_{BM}=2.83\,V$

1.1. Déterminer la valeur efficace $I$ de l'intensité du courant électrique qui traverse le circuit.

1.2. Représenter le diagramme de Fresnel à partir des tensions $U_{AM}$, $U_{BM}$, $U_{BM}$, l'origine des phases étant celle de l'intensité du courant dans le circuit.

Échelle : $5\,cm$ pour $1\,V$

1.3. Déterminer à partir du diagramme de Fresnel :

1.3. La résistance $r$ de la bobine ;

1.3.2. L'inductance $L$ de la bobine

2. Deuxième méthode

Les élèves visualisent à l'oscilloscope la tension $U_{BM}$ sur la voie $1$ et la tension $U_{AM}$ sur la voie $2$

L’oscillogramme obtenu est représenté sur la figure

 
Sensibilité verticale : voie $1$ : $1\,V/div$ ; voie $2$ : $1\,Vdiv$

Sensibilité horizontale : $2.5\,ms/div$

2.1. Reproduire la figure $1$ et représenter les branchements effectués à l'oscilloscope.

2.2. Indiquer la courbe représentant les variations de la tension $u_{AM}$ et justifier la réponse.

2.3. Déterminer à partir de la figure $2$

2.3.1 la fréquence de la tension délivrée par le générateur

2.3.2 la valeur maximale $U_{AM}_{\text{max}}$

de la tension aux bornes du conducteur ohmique $R$

2.3.3. La valeur maximale $I_{\text{max}}$ de l'intensité du courant qui traverse le circuit électrique ;

2.3.4. La valeur de la phase $\Omega_{u/i}$ de la tension u$u(t)$ aux bornes du générateur par rapport à l'intensité $i(t)$ qui traverse le circuit.

2.4. Déterminer :

2.4.1. La résistance interne $r$ de la bobine ;

2.4.2. L'inductance $L$ de la bobine.

3. La résonance d'intensité

Pour la suite on prendra : $r=8.3\Omega$ et $L=9\cdot 10^{-2}H$

Pour observer le phénomène de la résonance d'intensité, le groupe d'élèves insère en série, dans le montage précédent, un condensateur.

La tension délivrée par le générateur est   $u=2.83\cos\left(100\pi t\right)$

Déterminer :

3.1 La valeur de la capacité $C$ du condensateur ;

3.2 La valeur efficace $I$ de l'intensité du courant dans le circuit

Exercice 8 Amélioration du facteur de puissance   

1. Un appareil électroménager est assimilable à une bobine d'inductance $L$ et de résistance $R.$ Lorsqu'il est branché au secteur $\left(u=220\gamma 2\cos 100\pi t\right)$, l'intensité efficace du courant qui le traverse vaut $I_{1}=2\,A$

La puissance moyenne consommée vaut alors  $P_{m}=220\,W$

1.1. Déterminer sa puissance apparente, son facteur de puissance $\cos\theta 1$ et l'expression de l'intensité instantanée $i_{1}$ dans le circuit.

1.2. En déduire les valeurs de $L$ et $R.$

2. La législation impose un facteur de puissance au moins égal à $0.8$ sous peine de sanction.

Ainsi afin de porter le facteur de puissance à $\cos\theta_{2}=0.9$ on insère en série un condensateur de capacité $C$

2.1. Quelles sont les deux valeurs possibles de $C.$

2.2.  Déterminer la valeur de l'intensité efficace $I_{2}$ du courant dans le circuit.

2.3.  Quelle est la nouvelle puissance moyenne consommée dans le circuit ?

2.4. Quelle résistance $R'$ insérée à la place du condensateur donnerait le même facteur de puissance $\cos\theta_{2}$ ?

Quel est l'inconvénient de cette deuxième méthode

Exercice 9

Un dipôle $AB$ est constitué par l'association en série d'un résistor, d'un condensateur de capacité $C$ et d'une bobine purement inductive d'inductance $L.$
 
On désigne par $R$ la résistance totale du circuit.

On applique aux bornes du dipôle $AB$ une tension $u_{AB}=U_{m}\sin \omega\tau$ de valeur efficace $U$, constante mais de pulsation $\Omega$ réglable.

Un wattmètre mesure la puissance électrique moyenne $P$ reçue par le dipôle.

1. Démontrer que lorsque l'on règle $\Omega=\Omega_{0}$ pour obtenir les conditions de résonance d'intensité pour ce dipôle, on mesure une valeur maximale $P o$ pour la puissance moyenne.

1.1. Exprimer $P_{0}$ en fonction de $U$ et de $R.$

1.2. En déduire l'expression de l'énergie électrique $E o$ reçue par le dipôle pendant une période, en fonction de $U$, $R$ et $\Omega_{0}$

2. Dans les conditions de résonance, exprimer en fonction du temps l'énergie totale $E_{t}$ emmagasinée dans le dipôle, sous forme magnétique $E_{L}$ dans la bobine et sous forme électrique $E_{C}$ dans le condensateur..

2.1. Montrer que $E_{t}$ reste constante.

2.2. Dans ces conditions, exprimer cette énergie totale en fonction de $L$, $U$ et $R$
 
2.3. Que devient donc à chaque instant l'énergie électrique reçue par le dipôle ?

3. Exprimer le rapport $\dfrac{E_{t}}{E_{o}}$ en fonction du facteur de surtension $Q$ du circuit