Les niveaux d'énergie de l'atome

Exercice 1

Les  niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène sont donnés par l'expression :

$E_{n}=-\dfrac{13.6}{n^{2}}$

1. Calculer les valeurs des niveaux d'énergie $E_{1}$, $E_{2}$ et $E_{3}$

2. Que nomme-t-on le premier niveau ?

3. Pour quelle valeur de $n$, En est nulle ?

Dans quel état, l'atome d'hydrogène, se trouve-t-il ?

4. Calculer la fréquence de la radiation émise quand l'atome passe du niveau $E_{2}$ au niveau $E_{1}.$

5. En déduire la longueur d'onde correspondante.

A quel domaine spectral appartient-elle ?

On donne :

$h=6.62\cdot 10^{-34}J\cdot s$,

$c=3\cdot 10^{8} m\cdot s^{-1}$ et

$1\,eV=1.6\cdot 10^{-19}J$

Exercice 2

L'énergie des niveaux de l'atome $H$ est donnée par $E_{n}-\dfrac{13.6}{n^{2}}(eV)$, avec $n$ entier non nul.

1. Représenter les $6$ premiers niveaux sur un diagramme à l'échelle $1\,cm$ pour $1\,eV.$

Ajouter le niveau $E=0\,eV$ correspondant à l'atome ionisé.

2. Calculer la longueur d'onde $\lambda$ d'un photon capable de provoquer la transition de l'atome $H$ de son niveau fondamental au niveau $n=3$

Représenter cette transition sur le diagramme précédent.

3. Calculer la longueur d'onde correspondant à la transition du niveau $3$ au niveau $2.$
 
Donner le résultat en $nm.$

Cette transition correspond-elle à un photon émis ou absorbé ?

4. Cet atome étant de nouveau dans son état fondamental, il absorbe un photon de longueur d'onde égal à $8.5\cdot 10^{-8}\,m.$

Comparer cette énergie à celle du niveau fondamental.

Montrer alors que l'électron est arraché à l'atome.

Comment nomme-t-on ce phénomène ?

5. Quelle est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène ?

6. Établir l'expression littérale de la longueur d'onde des radiations émises lorsque cet atome passe d'un état excité tel que $n> 2$ à l'état $n=2$ correspondants à la série nommée série de Balmer.

7. L'analyse du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène révèle la présence de radiations de longueur d'onde :

$656\,nm\left(H_{\alpha}\right)$ ,

$486\,nm\left(H_{\beta}\right)$,

$434\,m\left(H_{\lambda}\right)$,

$410\,nm\left(H_{\delta}\right)$

 7.1. Déterminer à quelles transitions correspondent ces radiations de la série de Balmer.
 
7.2. Représenter ces transitions sur le diagramme des niveaux d'énergie de l'hydrogène.

8. Un photon d'énergie $7\,eV$ arrive sur un atome d'hydrogène.

Que se passe-t-il si l'atome est  

a. dans l'état fondamental         

b. dans l'état excité $n=2.$

9. Un gaz d'hydrogène atomique est porté à la température $2500\,k$

On admet que les atomes d'hydrogène se trouvent dans leur état fondamental.

Parmi les photons suivants dont on donne l'énergie quels sont ceux qui sont susceptibles d'être absorbés par les atomes :

$8.5\,eV$, $10.2\,eV$, $13.2\,eV$, $13.4\,eV$, $14.5\,eV$

Exercice 3

Dans le spectre d'émission de l'hydrogène, on trouve les trois raies suivantes caractérisées par leur longueur d'onde

$\lambda_{1}=434.1\,nm$, $\lambda_{2}=486.1\,nm$, $\lambda_{3}=656.3\,nm$

1. A quel domaine du spectre électromagnétique appartiennent ces rayonnements lumineux ?

2. Calculer en $eV$, les énergies des photons de longueurs d'onde $\lambda_{1}=434.1\,nm$, $\lambda_{2}=486.1\,nm$

$\lambda_{3}=656.3\,nm$

3. Justifier la discontinuité du spectre d'émission.

4. Donner le diagramme des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.
 
Donner l'expression des énergies des niveaux d'énergies, en calculant numériquement les énergies des niveaux $E_{i}$ de $i=1$ à $6$

5. Sur le diagramme, noter quel est l'état fondamental, les états excités, l'énergie d'ionisation.

6. Montrer que les trois raies étudiées correspondent à des transitions qui ramènent l'atome d'hydrogène excité au même état.

7. Quelle doit être l'énergie du photon pour faire passer l'atome d'hydrogène du niveau $n=1$ $n=4$ ?

Exercice 4

La mécanique quantique montre que l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est caractérisé par une énergie $E_{1}=-13.6\,eV$ et chaque niveau excité $n>1$ est définie par une énergie  $E_{n}=-\dfrac{E_{0}}{n^{2}}\left(n\text{est un entier naturel posiitif }\right)$

Avec $E_{0}=13.6\,eV$

1. A quoi correspond l'énergie $E_{0}$ ?

2. Quelle relation simple existe entre l'énergie de transition $\Delta E$ d'un niveau $n$ à un niveau $p$ et la longueur d'onde du photon émis ou absorbé.

(Traiter chaque cas à part)

3.1. Montrer que pour une transition d'un niveau $P$ à un niveau $n$ tel que $p> n$, on peut écrire la relation

3.2.  Vérifier que $R_{H}$ (appelée constante de Rydberg) vaut $R_{H}=1.10\cdot 10^{+7}m^{-1}$

3.3. Dans la série de Balmer $\text{(le retour au niveau }n=2)$ l'atome $H$ émet $1$ spectre contenant $4$ raies visibles, on se propose de calculer deux longueurs d'ondes de $2$ raies de ce spectre correspondant à  $p=3\left(\lambda_{3.2}\right)$ et $P=4$

Sans faire de calcul, et en utilisant $\Delta E$, comparer $\lambda_{3.2}$ et $\lambda_{4.2}$ puis calculer leurs valeurs.

4. L'atome $H$ est dans son état fondamental $(n=1)$, on l'excite à l'aide d'un photon incident d'énergie $W=13.8\,eV$
 
Que se passe-t-il ? Calculer $\text{(en }eV)$ l'énergie cinétique $Ec$ de l'électron de $H$ éjecté.

5. si l'atome entre en choc inélastique avec un électron ayant une énergie cinétique égale $11\eV$, que se passe-t-il ?

Exercice 5

Dans le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène on trouve les quatre raies suivantes, caractérisées par leur longueur d'onde :

$\lambda_{1}=410\,nm$ (violet),

$\lambda_{2}=434.1\,nm$ (indigo),

$\lambda_{3}=486.1\,nm$ (bleu) et

$\lambda_{4}=656.3\,nm$ (rouge)

On donne le diagramme des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.

1. Justifier la discontinuité du spectre d'émission.

2.1. Que signifie l'état fondamental de l'atome ?

2.2. Définir l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

Donner sa valeur.

3.1. Calculer la longueur d'onde maximale $\lambda_{\text{max}}$ correspondant à la transition de l'électron d'un niveau $n= 2$ au niveau $2.$

Déduire que $\lambda_{\text{max}}=\lambda_{4}$

3.2. A quelle transition correspond chacune des radiations de longueur d'onde $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ et $\lambda_{3}$

4.1. L'atome d'hydrogène est dans son niveau d'énergie $E_{2}(n=2)$, reçoit un photon incident de longueur d'onde $\lambda=486.1\,nm.$

Ce photon est-il absorbé ? Justifier sans calcul.

4.2. L'atome d'hydrogène est dans son état fondamental, reçoit :

4.2.1. Un photon d'énergie $11\,eV$

4.2.2. Un électron incident d'énergie cinétique $11\,eV$

4.2.3. Un photon d'énergie $14\,eV$

Dire, en le justifiant ce qui se passe dans chaque cas (dans le cas où l'atome est ionisé donner l'énergie cinétique de l'électron émis).

Exercice 6

On donne :
$-\ $la célérité de la lumière dans le vide :
$c=3.10^{8}m\cdot s^{-1}$ ;
 
$-\ $la constante de Planck : $h=6.62\cdot 10^{-34}J\cdot s$ ;
 
$-\ $ $1\,eV=1.6\cdot 10^{-19}J$ ;

$-\ $spectre de la lumière visible :

1. Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène

1.1. Les niveaux d'énergie quantifiés de l'atome d'hydrogène sont donnés par la relation :

$E_{n}=-\dfrac{E_{0}}{n^{2}}(n\text{ est un entier naturel positf})$

1.1. Expliquer brièvement le terme " niveaux d'énergie quantifiés".

Que représente $E_{0}$ pour l'atome d'hydrogène ?

1.1.2.  Compléter le diagramme des niveaux d'énergie

1.2. Dans une expérience voisine de celle réalisée par Franck et Hertz, un faisceau d'électrons homocinétiques (de même énergie cinétique $Ec=12.2\,eV$) traverse un gaz formé par des atomes d'hydrogène isolés (à l'état fondamental).
 
Lors des collisions entre un électron incident et des atomes d'hydrogène, un transfert d'énergie peut avoir lieu.

1.2.1. Justifier que l'atome d'hydrogène ne peut absorber que deux quantums d'énergie que l'on calculera.
 
1.2.2. Pour retrouver son état fondamental, l'atome d'hydrogène se désexcite en émettant l'énergie absorbée sous forme de radiations lumineuses.

Sur le diagramme des niveaux d'énergie, représenter par des flèches les transitions possibles et calculer les longueurs d'onde des radiations correspondantes

 

2. Les raies de la série de Balmer

Les radiations émises lorsqu'un atome d'hydrogène passe d'un état excité tel que $n> 2$ à l'état $n=2$, constituent la série de Balmer (du nom de leur découvreur).

2.1. Montrer que les longueurs d'onde de ces radiations vérifient la relation :

$\lambda=4\dfrac{hc}{E_{0}}$

2.2. Déterminer le nombre et les longueurs d'onde de toutes les radiations de cette série de Balmer qui appartiennent au domaine de visible.

Exercice 7

Les niveaux énergétiques possibles de l'atome d'hydrogène sont donnés par la relation : $E_{n}=-\dfrac{13.6}{n^{2}}$
 
Avec $E_{0}=13.6\,eV$

1. Calculer les énergies de l'état fondamental, des trois premiers états excités et de l'état ionisé.

Représenter le diagramme d'énergie de l'atome d'hydrogène en ne faisant figurer que les états précédents.

2. On fournit successivement à un atome d'hydrogène, pris dans son état fondamental, les quanta d'énergies suivants :

a. $6\,eV$ ;

b. $12.75\,eV$ ;

c. $18\,eV$

Dans quels cas l'atome pourra-t-il absorber l'énergie fournie et dans quel état se trouvera-t-il alors ?

3. On fournit à un atome d'hydrogène, pris dans son état fondamental, l'énergie suffisante afin qu'il parvienne au niveau excité caractérisé par $n=4$

Cette énergie est fournie par une radiation électromagnétique.

Quelle doit être la longueur d'onde dans le vide de cette radiation incidente ?

4. Un atome d'hydrogène, pris dans son état fondamental, absorbe un photon et s'ionise.

Exercice 8

Les niveaux énergétiques possibles de l'atome d'hydrogène sont donnés par la relation :
Avec $E_{n}=-\dfrac{13.6}{n^{2}}$

1. Que vaut n lorsque l'atome est dans son état fondamental ?

2. Expliquer pourquoi les spectres (d'absorption ou d'émission) de l'hydrogène sont constitués de raies ?

3. Quelle est, en $eV$, l'énergie d'ionisation d'un atome d'hydrogène ?

4. On fournit à l'atome d’'hydrogène, pris dans son état fondamental, l'énergie suffisante pour qu'il parvienne au niveau excité caractérisé par $n=4$

Cette énergie est fournie par une radiation électromagnétique.

Quelle doit être la longueur d'onde de cette radiation ?

A quel domaine du rayonnement électromagnétique appartient-elle ?

5. A partir de l'état précédent $(n=4)$, l'atome d'hydrogène revient à son niveau fondamental par une suite de transitions au cours desquelles il passe, entre autres, du niveau $n=2$ au niveau $n=1$

Quelle est dans ce dernier cas, la longueur d'onde de la radiation émise ?

Exercice 9

Spectre d'émission d'une lampe à vapeur de mercure Le but de l'exercice est de déterminer le spectre d'émission dans le domaine visible d'une lampe à vapeur de mercure.

Le diagramme ci-contre donne, de manière simplifiée, le niveau fondamental $E_{1}$ les niveaux excités $E_{2}$, $E_{2}$, $E_{4}$, $E_{5}$, $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$ et le niveau d'ionisation

$E=0$ de l'atome de mercure.

On donne: constante de Planck $h=6.62\cdot 10^{-34}J\cdot s$; célérité de la lumière dans le vide : $c=3\cdot 10^{8}m/s$  ; $1\,eV=1.6\cdot 10^{-19}J$

1. Quantification de l'énergie de l'atome

1.1. L'énergie de l'atome de mercure est quantifiée.

Qu'est-ce qu'on entend par énergie quantifiée?
1.2.1. Que signifie « ioniser » un atome?

1.2.2. Calculer, en $eV$, l'énergie d'ionisation de l'atome de mercure pris dans son état fondamental.

1.3. Interaction photon-atome.

Un photon ne peut faire passer un atome d'un niveau d'énergie $E_{n}$ à un niveau supérieur d'énergie $E_{n}$ que si son énergie est exactement égale à la différence des énergies $\left(E_{n}-E_{p}\right)$ de l'atome.

L'atome de mercure est dans son état fondamental

1.3.1. Déterminer la longueur d'onde maximale de l'onde associée au photon capable d'exciter cet atome.

1.3.2. L'atome de mercure subit l'impact d'un photon de longueur d'onde $\lambda_{1}=2.062\cdot 10^{-7}m$

1.3.2.1. Montrer que ce photon n'est pas absorbé.

1.3.2.2. Quel est alors l'état de cet atome ? $m$

1.3. L'atome reçoit maintenant un photon de longueur d'onde $\lambda_{2}$

L'atome est ainsi ionisé et l'électron arraché est au repos.

Calculer $\lambda_{2}$

2. Émission par une lampe à vapeur de mercure

Un électron peut faire passer un atome d'un niveau d'énergie $E_{p}$ à un niveau supérieur d'énergie En si son énergie est au moins égale à la différence des énergies  $\left(E_{n}-E_{p}\right)$ de l'atome.

Lors d'une collision électron-atome, l'atome absorbe, de l'électron, une certaine énergie suffisante pour assurer une transition.

Le reste de l'énergie est emporté par l'électron sous forme d'énergie cinétique.

Lorsque la lampe à vapeur de mercure est soumise à une tension convenable, une décharge électrique se produit.

Des électrons, dont chacun a une énergie cinétique de $9\,eV$, circulant dans la vapeur de mercure entre les deux électrodes de la lampe, bombardent les atomes gazeux et leur cèdent de l'énergie.

Pour cette lampe, les atomes sont initialement dans l'état fondamental.

2.1. Vérifier qu'un atome excité ne peut pas dépasser le niveau d'énergie $E7$
 
2.2. Le spectre d'émission dans le domaine visible, dû à la désexcitation de l'atome de mercure, est formé de quatre raies de longueurs d'onde :

$\lambda_{4\rightarrow 7}$ ;

$\lambda_{2\rightarrow  6}$ ;

$\lambda_{5\rightarrow 2}$ ;

$\lambda_{5\rightarrow 3}$

(se référer au diagramme).
 
Déterminer les longueurs d'onde limites du spectre d'émission visible de la lampe à vapeur de mercure.

Exercice 10

On utilise les lampes à vapeur de sodium pour éclairer des tunnels routiers.

Ces lampes contiennent de la vapeur de sodium à très faible pression.

Cette vapeur est excitée par un faisceau d'électrons qui traverse le tube.

Les atomes de sodium absorbent l'énergie des électrons.

L'énergie est restituée lors du retour à l'état fondamental sous forme de radiations lumineuses.

Les lampes à vapeur de sodium émettent surtout de la lumière jaune.

Données : $h=6.62\cdot 10^{-34}J\cdot s$ ;  

$c=3.00\cdot 10^{8}\,m\cdot s^{-1}$ ;

$e=1.60\cdot 10^{-19}C$

1. L'analyse du spectre d'émission d'une lampe à vapeur de sodium révèle la présence de raies de longueur d'onde $\lambda$ bien définie.

1.1. Quelles sont les longueurs d'onde des raie appartenant au domaine du visible ?

Au domaine des ultraviolets ?

Au domaine de l'infrarouge ?

1.2. S'agit-il d'une lumière polychromatique ou monochromatique ?

1.3. Quelle est la valeur de la fréquence $v$ de la raie de longueur d'onde $\lambda=589.0\,nm$ ?

1.4. Parmi les données présentées en début de l'exercice, que représentent les grandeurs $h$ et $e$ ?

2. Le diagramme simplifié des niveaux d'énergie de l'atome de sodium est donné
 
2.1. Indiquer sur ce diagramme l'état fondamental et les états excités.

2.2. En quoi ce diagramme permet-il de justifier la discontinuité du spectre d'émission d'une lampe à vapeur de sodium ?

3. On considère la raie jaune du doublet du sodium de longueur d'onde $\lambda=589.0\,nm$

3.1. Calculer l'énergie $\Delta E$ $\text{(en }eV)$ qui correspond à l'émission de cette radiation (on donnera le résultat avec le nombre de chiffres significatifs adapté aux données).

3.2. Sur le diagramme, indiquer par une flèche notée $1$ la transition correspondante (ne pas justifier).

4. L'atome de sodium, considéré maintenant à l'état $E_{1}$, reçoit une radiation lumineuse dont le quantum d'énergie $\Delta E'$ a pour valeur $1.09\,eV$

4.1. Cette radiation lumineuse peut-elle interagir avec l'atome de sodium à l'état $E_{1}$ ?

4.2. Représenter sur le diagramme la transition correspondante par une flèche notée $2.$

4.3. La raie associée à cette transition est-elle une raie d'émission ou une raie d'absorption ?